22 



ANALES DE LA SOCIEDAD CIENTÍFICA ARGENTINA 



sistemas que agregados al de los puntos, rectas y planos lo amplifi- 

 quen, y a pesar de eso subsistan los axiomas de los cuatro primeros 

 grupos en el sistema así amplificado. 



CAPÍTULO III 

 Transformaciones por homotecia y por inversión 



Antes de hablar de las transformaciones por inversión, vamos a 

 recordar algunas sencillas propiedades geométricas, que nos ayudarán 

 en las investigaciones posteriores. 



I. POLAKES 



a) El lugar geométrico de los conjugados armónicos de mi punto P, 

 con respecto a un círculo c, es una recta p, normal a PC (fig. 8), 



Para demostrarlo, tomemos 

 Q armónico de P con respecto 

 a AB, tracemos una secante 

 cualquiera PDE, unamos E 

 con Q y prolonguémosla basta 

 encontrar a la circunferencia 

 en D'. Por la simetría de la fi- 

 gura es fácil ver que BD = BD' 

 y por lo tanto ángulo DQB = 

 ángulo D'QB; luego QB es bi- 

 sectriz de DQD' y QT, que le 

 es perpendicular, será bisectriz 

 de EQD; y el punto F, en que la QT corta a ED, será por lo tanto 

 conjugado armónico de P, respecto a DE, lo que demuestra que QT, 

 es la polar del punto P, con respecto al círculo c. 



b) Llamando P' el jiunto en que la recta p corta a c, la recta PP' es 

 tangente al círculo, pues allí los puntos D y-E se confunden con los de j>. 



J 



c) Coñio el triángulo CP'P es rectángulo en P', se tiene : 



CQ . CP = r' 



F¡£ 



llamando r el radio del círculo. 



