LOS AXIOMAS DE LA GEOMETRÍA 23 



d) La polar de un punto F, cualquiera de x), pasa por P, porque 

 (DEFP) = — 1. 



e) Luego la polar / de F, será la perpendicular llevada por P 

 a FC. 



f) Cuando F sea el punto en el infinito de j9,/^PC, o sea, pasa 

 por el centro del círculo. 



g) Si/ gira al rededor de P, el punto F describe enteramente la 

 recta ^, desde el infinito positivo al negativo; y recíprocamente. 



h) El polo de la recta de unión de dos puntos cualesquiera M y N, 

 es el j)unto de intersección de sus dos polares m y n. 



k) La polar de un punto del círculo, es su tangente en este punto. 



Finalmente, observaremos que todas las propiedades enunciadas 

 son inmediatamente proyectivas, excepto la c y la e. que expresan re- 

 laciones métricas. 



II. HOMOTECIA (o SIMILITUD HOMOTÉTICA) 



Consideremos un círculo c de centro C (fig. 9), que su])ondremos 

 engendrado en un cierto sentido determinado, y un punto O de su 



Fig. 9 



plano. Tomemos un punto M sobre c, y otro M' alineados ambos con 

 O. Tracemos la M'C paralela con MC, que corta OC en C y además 

 en M la tangente í, que formará un ángulo a con OM; y por M' una 

 recta f paralela a t, que formará por lo tanto el mismo ángulo x con 

 OM. Si ahora hacemos girar a t de modo que envuelva al círculo c, el 

 ángulo CMT, recto, se conservará recto y uno de sus lados (el radio) 

 pasará por C. El ángulo C'M'T' también recto, se conservará así igual- 

 mente, y como uno de sus lados pasa siempre por C, supuesto fijo, su 

 otro lado M'T' envolverá otra circunferencia de centro C, puesto que 



