LOS AXIOMAS DE LA GEOMETRÍA 



producto qne es constante para cualquier par de puntos M y M/ so- 

 bre cualquier rayo OM por O. 



Si con |OT. OT'^^, como radio, desde O como centro, describi- 

 mos un círculo, podemos decir que los puntos M del círculo c son in- 

 versos de los M/ del círculo c' respecto a ese círculo director de radio 

 p, o más brevemente, que ambos círculos c y c' son inversos uno del otro, 

 indistintamente, respecto al círculo director de centro O y de radio p ; 

 llamaremos "p" la potencia de esta inversión y d a\ círculo director de 

 la misma. 



Los puntos del círculo director son los inversos de si mismos, como 

 resulta de^ .p =p\ 



Una interesante particularidatl en la transformación ])or inversión 

 ofrecen los círculos que cortan ortogonalmente al círculo director. 

 Decir, que el círculo director corta 

 ortogonalmente a un círculo c (fig. 

 11), quiere decir que los radios 

 OT ^p del director y CT = r del c 

 que van al punto de intersección 

 T, son normales entre sí, pues así 

 son tangentes : OT al c y CT al d. 

 En estas condiciones, si M es un 

 punto de c su inverso será M/ en 

 que OM corta otra vez a c, pues 

 OM.OM/ = OT^=i?% y a cada 



punto c interior a d corresponde como inverso el exterior alineado 

 con O, y recíprocamente. Eesulta de lo que i)recede, que un círculo 

 ortogonal c de un círculo director es su propio inverso, correspon- 

 diendo como inverso a la parte exterior T^f /Tía interior y recíproca- 

 mente. 



En la transformación i^or inversión hay todavía una cuestión sobre 

 la cual se debe llamar especial atención : ¿cuáles son los inversos de 

 los centros de un par de círculos inversos*? La contestación a esta 

 pregunta no ofrece dificultad : el inverso del centro C con respecto al 

 círculo director d (fig. 10) es el jjie C/ de la polar de O con respecto a 

 c' y no el C, como pudiera creerse, y el de C el pie C, de la polar de O 

 con respecto a c. 



En el caso de los círculos ortogonales del círculo director (fig. 11), 

 el centro de uno de ellos no se corresponde por inversión a si mismo, 

 pues no es doble por no estar sobre d, sino que su inverso es C/ in- 

 tersección de la polar TT de O respecto i c con la recta OC. 



''~cu/o c/i 



Fifí. 11 



