LOS AXIOMAS DE LA GEOMETRÍA 27 



criptible y el ángulo exterior I'IjNI es iguiú al interior I,!/!'. Pero los 

 elementos I I', 1,1/ son infinitesimales por hipótesis, luego las rectas 

 II,, I'I,' son paralelas salvo infinitésimos de orden superior y se tiene 



l'IM = I,I/r = OI,I,' 



o sea que el ángulo a que hace el elemento II' con el radio Oí es igual 

 al que hace el elemento inverso 1,1/ con el mismo radio, pero el sen- 

 tido de estos ángulos está invertido. Ahora bien, si dos elementos ab 

 se cortan en un punto I, sus inversos se cortarán en el inverso I,' y el 

 ángulo a (Oí) = a' (01,) pero de sentido opuesto y lo mismo los ángulos 

 6(OI) = &'(OI,), luego 

 < (a6) = < («'6') pero O o o o o o 



de sentidos inversos. p¡„ ^o 



Para demostrar que 

 se conserva la relación anarmónica, en las rectas que pasan por O, 

 tomemos cuatro puntos cuyas abscisas contadas desde O, llamaremos 

 Xi, X,, X, y «4 (flg. lo). 



Tendremos, por ejemplo, para : 



(1324) = - — -- : - — -- 



;c, ¿1^4 íCj Xi 



P 

 Por la inversión, una abscisa x se transforma en —, siendo p el radio 



del círculo de inversión; entonces : 



(1'3'2'4') = 



1 _ 1 1 1 



ÍjI' ] ÍA, i> tí/ -í tí' .7 



1 I • 1 1 



[Xj ívj*t^ *^l\ /^2 "^ ."! "^^ i "^"^ *^ 3 



- — ^.-^ : -^ — .'^] = 



/yi .^^ /v» nfl /Vi 



: -^ = (1324) 



X ^ ti? , iC i X ¡ 



■ (1324) = (1'3'2'4'). 

 La figura inversa de una recta es el círculo que tiene su centro so- 



