A,Q==A,P,^ 



LOS AXIOMAS DE LA GEOMETRÍA 33 



QP,^ = P.,T,^ — P,Q^ = 



= C,P.r — rr — P,Q^ = C.Pr — P;Q^ — rr = 



= C,Q- — í'i' = constante. 



Luego todos los círculos normales a los del haz Liperbólico CiC, 

 forman a su vez otro haz sin puntos límites que llamaremos haz elíp- 

 tico, formado por todos los círculos que pasan por A, y A, y tienen 

 su centro sobre r,,; este haz tiene un círculo límite de diámetro AjAo. 

 Es decir, que un haz hiperbólico con círculos nulos, determina otro, 

 el elíptico con un círculo mínimo ortogonal al primero y recíproca- 

 mente. 



Volviendo a la primitiva figura (fig. 20) con los dos círculos que se 



Tis. 22 



cortan en A, y A», todos los círculos que tienen un centro sobre el 

 segmento A.Aa, y un radio igual a la potencia de P, con respecto a 

 Ci y c.,, son cortados diaynetralmente, ya no ortogonalmente por c^ y c,. 

 En efecto : 



Tomemos un punto P sobre r^, (fig. 22) y tracemos PC2E que pro- 

 longaremos hasta D, y la T2PT./ perpendicular a PCjj se tiene que : 



PT,^ = PD . PE = PT/^ 



que es la potencia de P con respecto a ambos círculos. 



El haz que se obtiene es limitado, y todos sus círculos están con- 

 tenidos en una elipse cuyos focos son Aj y A^ (fig. 23). 



El círculo que tiene Aj A2 como diámetro es el máximo del haz. To- 

 dos los círculos son cortados diametralmente por c^ y Cj. 



Este haz se llama también hiperhólico, complementario del anterior 

 y como él, tiene círculos de radio nulo. 



AK. SOC. CIBNT. ARG. 



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