LOS AXIOMAS DE LA GEOMETRÍA 



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El haz parabólico contiene como círculo nulo el círculo de centro 

 A y radio nulo, que es evidentemente común con su ortogonal. 



En resumen, tenemos tres tipos de haces de círculos : 



1° Con dos ijuntos reales o elíptico; 



2° Con un punto real o parabólico ; 



3° Sin puntos reales o hiperhóUco, y podremos decir que el haz nor- 

 mal a un haz elíptico es hiperbólico y recíprocamente. 



Fig. 25 



Los círculos del haz elíptico (fig, 25) pasan por los puntos límites 

 del haz hiperbólico, y el círculo mínimo del elíptico tiene los puntos 

 límites del hiperbólico sobre él, diametralmente opuestos. 



En el haz parabólico, el círculo mínimo coincide con los puntos lí- 

 mites confundidos ambos en un solo punto. 



CxVPlTULO V 

 Las geometrías axiomáticas. Extensión lógica de la geometría euclideana 



Los cinco grupos de axiomas que ha establecido Hilbert y que he- 

 mos recordado brevemente en las primeras páginas, constituyen un 

 conjunto de los axiomas que son suficientes y necesarios para estable- 

 cer la geometría euclideana; pero igualmente que ésta, permite esta- 

 blecer otras geometrías, llamando punto, o elemento más sencillo, o 

 ente geométrico de primera especie a cualquier concepto, geométrico 



