LOS AXIOMAS ÜE LA GEOMETRÍA 37 



conjunto de círculos que pasan por O. EnuncírculoliayporTo menos 

 (los puntos distintos además de O. 



Un círculo está igualmente determinado por cualquier par de j)un- 

 tos de él, distintos de A y de B. 



Tres puntos del espacio, A, B y C, determinan junto con O, una 

 esfera, to del conjunto (O), siempre que no estén en un mismo círculo 

 que pase por O. 



Tres puntos cualesquiera de una esfera Eo no situados en un mismo 

 círculo Co (es decir, que no pasa por O), determinan unívocamente esa 

 sola esfera. 



Si dos puntos A y B de un círculo Cq están sobre una esfera So, 

 todos los puntos de c^ están sobre =.0. 



Si dos esferas Zo y lo' tienen un punto común A, además de O, ten- 

 drán por lo menos otro punto B, común tam- 

 bién. 



Y finalmente, existen por lo menos, además 

 del punto O, cuatro puntos A, B, O, D, no si- 

 tuados en la misma esfera So- 



En los enunciados anteriores hemos segui- 

 do uno por uno los axiomas que forman el 

 grupo primero de axiomas, y liemos verifica- 

 do que todos se satisfacen : luego si exceptua- 

 mos al punto O de nuestra consideración, si 



los cortamos^ sacándolo del conjunto, si lo declaramos fuera de las 

 consideraciones sucesivas, los axiomas del primer grupo se aplicarán 

 exactamente a esta nueva forma de geometría, llamando : 



Punto, al punto de la geometría euclídea ordinaria: 



Recta, al círculo que pasa por O, en geometría euclídea ordinaria; 



Plano, a la esfera que pasa por O, en geometría euclídea ordi- 

 naria. 



Consideremos ahora los axiomas de ordenación que forman el se- 

 gundo grupo. 



Sean A, B y C tres puntos de un círculo Co : si B está entre A y C 

 (fig. 27), está también entre C y A. 



Xo admitamos que se pueda ir de C a A pasando por O, que es un 

 punto de discontinuidad de la línea, pues lo hemos supuesto cortado; 

 en este caso la verificación del axioma es evidente. 



Si A y C son dos puntos de una recta, hay siempre por lo menos 

 un punto B entre A y C y otro D, tal que C esté entre A y D. Es 

 evidente siempre, por el corte que hemos supuesto existir en O. Dado 



