LOS AXIOMAS DE LA GE0ME:TRÍA 43 



geometría, es uiuy grande. Todo problema de geometría de la radia- 

 ción parabólica, leído en geometría euclideana, se simplifica notable- 

 mente, y viceversa, todas las propiedades ya conocidas en la geometría 

 euclideana, nos dan inmediatamente otra nueva en la geometría de la 

 radiación parabólica; esto por de pronto nos permite decir que hemos 

 duplicado el número de teoremas conocidos. 



Por ejemplo, consideremos el teorema : «las tren alturas de un trián- 

 gulo pasan por un punto»; en geometría de la radiación parabólica de 

 círculos, lo tendremos transformado en el siguiente : 



Dados tres círculos que pasan por un punto O, los tres circuios que 

 pasan por O, jior los ptmtos de intersección de dos de los primeros y que 

 cortan normalmente al tercero, pasan por un punto ^ teorema que sería 

 muy difícil de demostrar directamente, y que una vez demostrado, la 

 aplicación rigurosa de todos los axiomas a la radiación ¡jarabólica de 

 círculos, queda de hecho demostrada. 



Lo mismo sería con cualquier otro teorema del triángulo : las tres 

 medianas o las trcvs bisectrices se cortan en un punto, etc. 



El teorema de Desargues, «dos triángulos que tienen sus lados ali- 

 neados con respecto a un ptinto, sus pares de lados correspondientes se 

 cortan en puntos de una misma recta», daría diferentes teoremas, según 

 donde considerásemos el punto de inversión, pues al hacer corresi)on- 

 der a las rectas con los círculos que pasan por O, quedan incluidos 

 como círculos de radio infinito las rectas que pasan por O. Tomando 

 como centro de inversión el centro de homología de los dos triángulos, 

 tendremos que los lados de estos dos triángulos se transformarán en 

 círculos que pasaran todos por O. Los nuevos triángulos curvilíneos 

 tendrán sus vértices correspondientes alineados con O, y sus pares 

 de lados correspondientes (arcos de círculo), se cortarán en tres pun- 

 tos que estarán sobre un círculo que pasará por O. 



Si suponemos que el ininto O se alejase al infinito, los círculos y 

 las esferas de esta radiación, se acercarían a las rectas y planos de la 

 geometría euclídea, con los cuales se confundirán en el límite : ten- 

 dríamos así otra vez los elementos euclídeos pero con un solo elemento 

 impropio en el infinito, el punto O; no es entonces la geometría euclí- 

 dea sino la, parabólica : no existe recta en el infinito. 



La exactitud rigurosamente lógica de todo lo que hagamos en esta 

 geometría parabólica, es evidente, axiomática, pues un error en ello, 

 se reproduciría por inversión en la euclídea; y admitimos que en esta 

 no hay errores de lógica. 



El problema de la indemostrabilidad del postulado de Euclídes y 



