LOS AXIOMAS DE LA GEOMETRÍA 49 



CAPÍTULO VII 

 La exactitud lógica de las geometrías euclideana y no euclideanas 



1. Pata demostrar ]a exactitud lógica de las cuatro geometrías que 

 hemos establecido anteriormente, bastará demostrar la de una cual- 

 quiera de ellas, pues las restantes se deducen unas de otras por trans- 

 formaciones inversas. 



Para la euclideana, procederemos como sigue : 

 Llamemos terna, triplete mimérico, o simplemente triplete, un grupo 

 de tres números, por ejemplo, 5, 6 y 8, tomados en un cierto orden; 



así el triplete 



5, G, 8 

 es diferente del triplete 



6, 5, 8 

 y del 



8, 5, G, etc. 



2. Como mimeros con los cuales vamos a operar, tomaremos el con- 

 junto o «cuerpo de números» deducido de los enteros por las 4 ope- 

 raciones racionales, más la raíz cuadrada : lo llamaremos cuerpo K, 

 y además los deducidos de ellos por adición, substracción, multipli- 

 cación, división y extracción de raíz cuadrada. 



3. Diremos que dos tripletes (a, h^ c) y («', h', &) son iguales cuando 

 se verifique que 



a = a' h^h' c = c' 

 ^ recíprocamente, 



4. El conjunto de los tripletes es triplemente infinito, o sea, tiene 

 tres dimensiones, lo que se comprende bien, pues el conjunto de los 

 niimeros definidos es simplemente infinito y tomamos tres números 

 .en cada triplete. 



5. Dentro del conjunto o cuerpo de tripletes, llamaremos conjunto de 

 primer grado a dos dimensiones, a todo grupo detrii)letes que satisfa- 

 gan a la ecuación 



f {x, y, z) = Ax ^By -i-Cz + D = 



en la que A, B, C y D son cuatro números dados del cuerpo K. 

 Este conjunto es doblemente infinito, pues para un valor de x co- 



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