LOS AXIOMAS DE LA GEOMETRÍA 51 



9. Si un /,/ debe contener a un cierto trii)lete {a, b, c) será necesa- 

 rio que 



■Aj\'{a,b,€)^-l/\'{a,h,e) = 

 (le donde 



7. = uf/ {a, b, c) y A = — o// {a, &, c), 



siendo (.> un factor indeterminado, que puede ser cualquiera, puesto 

 que el único valor que interesa es el de la relación v. 7"/.. Si substi- 

 tuímos estos valores en 



/;■/ = ■/// {X, y, z) + ■/// (a?, y,z) = () 

 resulta : 



// (.T, 7/, z)f/ (a, b, c) -/,' {X, y, z)f/ (a, b, o) = O 



como expresión de un/' que comprende un triplete y una y. y la de- 

 signamos con fa, ,J para expresar que contiene al triplete (a, ft, c) y al 

 conjunto lineal g. 



Para el triplete (a?, y, z) = («, b, c), la última expresión escrita se re- 

 duce a una identidad, luego podremos con esto dar por demostrado que : 



Un conjunto </, y un triplete (a, b, c), determinan uno y un solo con- 

 junto fi que contiene a ambos. 



El lector podrá apreciar a través de estos raciocinios, la identidad 

 de los resultados que obtenemos, con otros que expresan en lenguaje 

 geométrico ciertas verdades muy conocidas. 



Pero aquí hemos partido de la idea abstracta de un conjunto de 

 números, haciendo caso omiso de toda idea que pueda referirse a hi- 

 pótesis especiales. 



10. Siguiendo en este orden de ideas, consideremos entre el triplete 

 lijo dado (ac', 1/', z') y un triplete variable i», í/, r, las ecuaciones : 



{X - x') : {y - y') : {z - z') = a\b\c, 



siendo a^b y c tres númoros cualesquiera elegidos entre los del cuerpo 

 anteriormente definido y no nulos los tres simultáneamente; vamos a 

 demostrar qiie determinan un (f. En efecto se tiene : 



b {x — x') — a (y — y') = 



c{y — y') — b{z — z') = 



o sea : 



bx — ay — {bx' — ay') = O 



cy — bz — {cy' — bz') = 



