LOS AXIOMAS DE LA GEOMETRÍA 53 



í/'", z'")^ se pueden calcular los coefícientes de las A, B, O, ..., o más 



bien sus relaciones a D; — ? ~i —i ••••, qne serán números del cuerpo 



de nvimeros elegidos primeramente. 



Pero si las tres ecuaciones se reducen a dos solamente, lo que su- 

 cederá cuando 



= 



no se podrá obtener un solo triplete como solución, sino un número 

 infinito, y entonces tendremos que los coeficientes de a?', a?", x'" ... se- 

 rán funciones lineales de uno de ellos. 

 Se podrá poner, por ejemplo, 



x'" = v.x' -\- \x" 



y'" = y.y' + \y"' 



Z'" = V.Z' + Iz'" 



siendo 7.-{-X = l: y de aquí deduciremos : 



x'" — x' = (/. — !) x' + KX" = A {x" — x') 



y'" -y' = (•/. -1)2/' + W = >- iy" - y') 



Z'" — Z' = (■/. — 1) C' -f Iz" = A {Z" — Z'). 



Luego : 



{X'" — X') : {y'" - y') : {z'" - z') = [x" — x') ', {y" - y') ', {z" — z') 

 es decir que el {x'", y"\ z'") está comprendido en el<7' definido por : 



{^" - X') : iy" - y') : {z" - z') = {X - X') ; {y - y') ; {z - z') 



que contiene a los tripletes (o?', y', z') y (¿c", ?/", c"), y es definido por 

 ellos. 



En resumen : tres tripletes no contenidos en ung' definen unf y uno 

 sólo: y recíprocamente, tresf que no contengan el mismo g', determinan 

 un solo triplete. 



Por consiguiente, una vez definidos los tripletes, los g' y los/' sa- 

 tisfacen a los mismos axiomas de ordenación que el punto, recta y 

 plano, o entes geométricos del primer grupo de axiomas de Hilbert. 



