LOS AXIOMAS DE LA GEOMETHIA 0< 



Se tendrá entonces para uno cualquiera de esos tripletes : 



Ax, + By. + C^, + D = O 

 O también : 



A {a, — \,a,) -\- B {b, — /„&,) + C {c, — \,c,) + D (1 — >..) = O 



>., {Aa, + B&3 + Ce, + D) = Art, -L Bb, + Ce, + D. 



De donde : 



_Aa, + B62 + CC, + D 



' ~ Aa, + Bb, + CC3 + D 

 y análogamente por permutación de índices : 



A., 



'*' Aa, + BÍ>,4-Cc, + D' 

 de donde 



K,KÍK3 = -|- 1. 



De modo que si "/.i está entre a,b.,€., y a.b^c,, es decir negativo, es 

 necesario que uno y s(51o uno de los otros dos lo sea también, es decir 

 que si \¡ está en el segmento (ai&,c,) {a¡b.c,) hay también uno de los 

 otros dos X en el lado respectivo del triángulo, y el otro no; en otros 

 términos : 



8¿ la seudo recta g.,/ corta un lado de un triángulo ella corta tam- 

 bién uno de los otros y a uno solo. 



Con esto vemos que los tripletes, los conjuntos g' y/', obedecen 

 todos a los axiomas de ordenación contenidos en el grupo segundo de 

 Hilbert, es decir, que los seudo puntos, o tripletes, las seudo rectas, 

 y los sendo planos, obedecen a los axiomas del segundo grupo de 

 Hilbert. 



16. Sigamos adelante investigando si obedecen a los otros axiomas. 



Consideremos dos tripletes, 



P, = (aj, 6„ c,) y P2 = (a,, &,, c,). 

 Cal(nilemos el valor positivo 



d,, = + ( (a, — a,)-^ + [b, — 6,r + (c, — c,)% 



