58 ANALES DE LA SOCIEDAD CIENTÍFICA ARGENTINA 



Antes de seguir liaremos una digresión sobre los fundamentos de la tri- 

 gonometría coosiderada bajo un punto de vista puramente aritmético ; tra- 

 taremos las funciones trigonométricas, empezando por definir la función : 



?/ = <?** (con i = ^— l). 



Sus derivadas sucesivas son : 



y' = ie'x : y" = — e*^ ; ?/'" = — ie'^^ ; ?/'v =^ e^* 



y para el valor O de la variable 



?/ = 1 : y' = i : y" = — 1 : y'" = — 1 ; í/'v = 1 



o sea alternativamente reales e imaginarias. 



Aplicamos la serie de Taylor (forma de Mac Laurin) ; resulta : 



x^ x' x" x' 



?/ = e»^ r= 1 -f ix — — _ i— 4- - + /— ... 



¿r' x" 



Designemos con los símbolos C(r) y S(.r) a los polinomios encerrados 

 entre paréntesis, o sea 



2 \ O 



X X x 



x^ x'' x~ 



y entonces el valor de e'^ tomará la forma 



e«=.C(x) + íS(.r). 

 Si damos a o» el valor O, tendremos que : 



C(0) = 1 : S(0) = O 



propiedad que sabemos existe en las funciones trigonométricas ordinarias. 

 Si diferenciamos la primera tendremos que : 



clClx) x" x^ X'' 



dx M p r' 



X X 



y análogamente : 



dS{x) 3x" 5x' 



dx |3 



i-^ + ^--- = cw 



