72 ANALKS DE LA SOCIEDAD CIENTÍFICA ARGENTINA 



variar el otro punto S", para ver cómo varía la distancia : recordando 

 el valor de K, tenemos que : 



K' — K" 



d = Kf7, = í^TTT^ Í^TTT di 



poniendo K" = 1 -f- <* 



d 



Si K" tiende hacia la unidad, o sea si x tiende hacia cero, la dis- 

 tancia d tiende hacia un valor infinito, haciéndose mayor que cual- 

 quier distancia dada, por grande que sea; tendremos pues que : 



El imnto impropio, en el infinito de una recta, está a una distancia 

 infinitamente grande de todos los puntos propios de la recta. 



36. Con las indicaciones anteriores, damos por terminado el estudio 

 lógico de la geometría de los tripletes, habiendo visto que acepta to- 

 dos los axiomas de Euclides. 



Eespecto a los de continuidad, las dificultades son puramente de 

 orden aritmético y es conocido cómo se trata de vencerlas por las 

 consideraciones del límite. 



Luego, como en aritmética, no hay errores lógicos, tampoco los 

 puede haber en geometría euclideana, pues los axiomas no contienen 

 contradicciones lógicas y son independientes entre sí. 



De aquí se deduce también, que lo mismo debe suceder con las geo- 

 metrías no euclideanas, pues si en ellas hubiera errores, resultarían 

 estos por inversión en la geometría euclideana, y ya hemos visto que 

 ésta no los tiene. 



En resumen : Es imposible demostrar lógicamente la falsedad de nin- 



V guna de las tres geometrías; todas son igualmente lógicas y exactas; y 



demostrar que una no lo es, sería demostrar que ninguna de las tres lo es. 



CAPÍTULO VIH 

 Teoría de la medición 



En 1(5 que precede hicimos una exposición de la teoría de las tres 

 geometrías : hiperbólica, parabólica y elíptica, sin considerar de más 

 cerca la medición de los segmentos de rectas no euclideanas ; medir 

 distancias nos resulta muy claro en la geometría euclideana, y se nos 



