74 ANALES UE LA SOCIEDAD CIENTÍFICA ARGENTINA 



Por el punto A hago pasar una recta, es decir su representación 

 que es un círculo /•;, de centro E, ortogonal a m. Este círculo cortará a 

 u) en dos puntos P y Q y PQ será la polar del centro O de co respecto 

 a r, pues OP y OQ son tangentes por ser normales a KP y EQ. El 

 inverso A' de A está en la segunda intersección de OA con el círculo 

 r. Tomo uno de los dos puntos P o Q, por ejemplo P, como centro de 

 un círculo j; de radio cualquiera, con tal que corte a to, y hago la in- 

 versión de toda la figura respecto a P. La figura inversa de w es la 

 cuerda común oj, de (o y 7> ; la inversa de >% la cuerda común r, de r 

 y p ; luego r y (o, son rectas ortogonales ])or serlo r y oj, y se cortan 

 en el centro radical de w, r y p ; quiere decir que la recta wr^ PQ 

 pasa por el punto Q, común a (o, y 1\. Ademas , r, cuerda común de 

 >• y p es normal a la central de r y p, y esta central es la tangente 

 PE en P al círculo oj : luego r, es paralela a OP. 



Sea E el punto en que OAA' corta a PQ ; como esta es la polar de 

 O respecto a r, se tiene 



(AA'EO)=: — 1. 



Si desde P como centro proyectamos esta cuaterna sobre r, obte- 

 nemos la cuaterna (A,A/EiO,); pero OP es paralela con r,, luego 

 O, ^ O^ ; E, está sobre PQ que pasa por P, luego E, ^ Qj y por con- 

 siguiente 



(A.A/Q,QJ = -1 

 o sea 



A,Q, = Q.A/ 



y vemos que Q, es el punto medio de la normal A, A/ a la recta w,. 



Eepítiendo el mismo raciocinio para un otro par de puntos inver- 

 sos B, B', trazaremos el círculo s ortogonal a w que pase por B y lue- 

 go por B', y obtendremos como antes que w, es la mediatriz del seg- 

 mento B,B/. 



Finalmente, nos resulta que si a una figura cualquiera ABCD etc., 

 corresponde en la geometría de círculo director w, la inversa A'B'C'D' 

 etc., la representación más intuitiva y sencilla que nos podemos hacer 

 de ello es una simetría de AiB,C, etc. respecto a un eje Wj. Por esta 

 razón muchos autores dicen brevemente : simetría respecto al cír- 

 culo OJ ; y en el sentido supuesto se ve que figuras inversas gozan de 

 todas las propiedades fundamentales de la simetría o «reflexión» 

 aún cuando en esta transformación a una recta AB no corresponde 

 la recta A.B, sino la circunferencia ortogonal a o), que pasa por A, 



yB.. 



