LOS AXIOMAS DE LA GEOMETRÍA í7 



3° Si sumamos n distancias iguales AoAi = A,Ao = ... =^ A,i_ iA„ 

 tenemos 



AqAm = n . A(|A,« 



Hasta aquí las únicas invariantes que encontramos en una trans- 

 formación inversa, que transforma una geometría en otra y debe 

 transformar la noción de distancia conservando sus propiedades, es, 

 l)or una parte, la relación aimrmónicade cuatro puntos y por la otra, 

 el círculo director de la inversión. 



Lógico es entonces, o mejor diclio muy intuitivo es buscar para 

 expresar la distancia AqA, una cierta función de la relación anarmó- 

 nica de los dos puntos Ao y A, con otros dos que dependan del cír- 

 culo O) ; y no hay puntos más apropiados a primera vista para eso que 

 los P y Q en que la recta r = AoA, corte a oj. 



Consideremos las figuras 51 y 5l¿ en que, por simetría, por inver- 

 siones sucesivas respecto de los ejes í^,, e„, e^, ..., engendramos la serie 

 de puntos equidistantes Ao, A,, A,, ... Estos simétricos son : 



1" A, fijo (eje e,) permuta Ao en Ao y P en Q, luego : 



(AoA,PQ) = (A,A.QP). 

 2° A, fijo (eje t?,) permuta A, en Aj y P en Q, luego : 



(A,A,PQ) = (A,A,QP). 



{n — 1)0 An - , fijo (eje e,, _ ,) permuta A,, _ , en A„ y P ^n Q, luego : 



( ^, _ , A, _ ,PQ) = ( A,A„ _ jQP). 



Escrito explicitamente 



AqP . A.P ^ A,Q . A.Q _ A,P . A,P 

 AoQ • A,Q ~ A,P • A,P ~ A,Q ' A,Q' 



Esta propiedad es general y se tiene 



AoP.A.P A.P.A.P A,P.A3P A„_.P.A„P 



AoQ-A.Q A,Q-A,Q A,Q-A3Q "■ A,,_,Q-A„Q 



(«) 



Si multiplicamos la primera relación {a) por si misma y la primera 

 por la segunda, obtenemos nnos productos iguales 



/AoP.A.P\^ A„P.A,P 



AoQ-A.Q/ A„Q-A,Q 



