LOS AXIOMAS DE LA GKOMETRÍA 79 



cepto distan cia. P odemos precisar el valor K tomando como unidad, 

 por ejemplo, AoA, = 1, por la condición 



AoA, = 1 ^K loe- 



AoP.A.P 



AoQ-A.Q 



Klog(AoA,PQ). 



En resumen, en geometría hiperbólica : 



La distancia entre dos puntos es proporcional al logaritmo de la 

 relación anarmónica de estos dos puntos con los extremos de la rec- 

 ta, sus puntos en el infinito. 



La unidad de distancia es K veces el logaritmo de la relación anar- 

 mónica de los puntos O y 1 con esos extremos ; K depende del valor 

 del sistema de logaritmos empleados. 



Por consiguiente, en la geometría no euclideana hiperbólica, de 

 Bolyai-Lobachevski, la distancia depende de la posición del seg- 

 mento respecto al círculo oj, el círculo absoluto o sea el infinito. 



En efecto si en la relación AoA„ = K log(A„A,,PQ) hacemos 

 A„ ^ P, por ejemplo, resulta 



^«^ — ^^ ^^S I rv^ . ¥^7^ I = J^^ "'« I -^-^p: . í^t: i = 4- oo 



^AoP.PP 

 ,A„Q'PQ 



si A,i = Q 



Todo esto coincide perfectamente con lo desarrollado en los varios 

 capítulos que anteceden. 



En geometría no euclideana elíptica, la de Kiemann, el círculo (o es 

 imaginario; la inversión nos da bien para A, como fijo, A, como in- 

 versa de A„ pero más una simetría ; las cantidades bajo logaritmo se 

 hacen negativas, y como en todas las cuestiones de exponenciales y 

 logaritmos, cuando el exponente es imaginario o el número negativo, 

 entran a jugar su papel h\s funciones circidares. 



Los que se interesan por estas cuestiones pueden consultar la mis- 

 ma obra origiiud de Lobachevski, Geometría imai/inaría, y muchísi- 

 mas obras modernas que detallan ese formulismo. 



Aquí nos basta exponer los ])rincipios de esta teoría de la medición, 

 debida al geómetra inglés Arturo Cayley (1821-1895) en su Sixth me- 

 moir on Qnanties (1850) desarrollada en 1871 por Félix Klein. Con ella 

 todas las cuestiones suscitadas por el axioma V, y también los del 

 V., quedan evacuados, pues sabemos medir y podemos establecer la 



