LOS AXIOMAS DK LA GEOMETRÍA b» 



muy bien, porque la enseñanza se diiiij;e hacia jóvenes que están ya 

 desde hace mucho tiempo familiarizados con la noción de las fraccio- 

 nes a fuerza de dividir frutas u otros objetos, y cuyo espíritu afinado 

 por una fuerte educación matemática, ha llegado poco a poco a desear 

 una definición puramente lógica. ¿Pero cuales no serían las dificulta- 

 des para un principiante con el que quisiéramos hacer servir esto? 



« Tales son las definiciones que se encuentran en un libro justa- 

 mente admirado y muchas veces coronado, los Grundlagen der íieo- 

 metrie de Hilbert. Veamos, en efecto, cómo principia : Concibamos tres 

 sistemas de cosas, que llamaremos puntos, rectas y planos. ¿Qué son estas 

 cosas! Ni sabemos, ni tenemos para qué saberlo : hasta sería fasti- 

 dioso de saberlo; todo lo que tenemos derecho de saber, es lo que de 

 ellos nos enseñan los axiomas ... » 



No es cierto : la ironía de que quiere hacerse gala en este párrafo, 

 está hábilmente preparada, con el ejemplo anterior de las fracciones; 

 pero, aparte de que el libro de Hilbert 7io es un libro de texto hecho 

 para suplir — en su forma actual por lo menos — la enseñanza de 

 lo*que ahora llamamos Geometría, y que al tomarlo como tal, ya se 

 comete un error, no es cierto que los axiomas nos enseñan nada de 

 las cosas, pues nada puede enseñar un axioma sobre la naturaleza de 

 las cosas, sino sobre las vinculaciones o relaciones de las cosas entre 

 sí : se confunde aquí el «objeto», con la «relación de objeto a objeto», 

 relación traducida eu un axioma, independiente, evidentemente, de 

 la naturaleza de los objetos. Obsérvese que los diferentes grupos de 

 conocimientos científicos que hemos llamado «ciencias», no estudian 

 las «cosas en sí», sino las «relaciones entre las cosas». Un cierto gru- 

 po de estas relaciones forma lo (jue llaniamos Geometría : ¿es posi- 

 ble negar a nadie el derecho de traducir estas relaciones en axiomas, 

 característicos precisamente de la Geometría? ¿y hay alguna necesi- 

 dad para ello de fijar de antemano la naturaleza de las cosas alas que 

 vamos a aplicar después estos axiomas? 



Como Poincaré no toma la cuestión desde su punto de vista real, 

 sino de uno propio, nacido de una confusión entre las ideas de «defi- 

 nición» y de «vinculación por medio de axiomas», no puede natural- 

 mente seguir el hilo de un raciocinio extraño al suyo, y así sigue : 



« ... todo lo que podemos saber de ellos, es lo que nos enseñan los 

 axiomas, por ejemplo, este : Dos puntos diferentes determinan siem- 

 pre una recta, que es seguido de este comentario : en lugar de deter- 

 minan podremos decir que la recta pasa por estos dos puntos, o que une 

 estos dos ptmtos o que los dos puntos están situados sobre la recta. Así, 



