DISQUISICIONES TRIGONOMÉTRICAS 99 



4° A mayor lado se opone mayor ángulo, y recíprocamente. 

 Dos trián.niilos son suplementarios, cuando los lados del uno son 

 suplementos de los ánoulos del otro, y recíprocamente; 



5° A todo triángulo esférico corresponde otro que le es stqyl ementar i o : 



a) Si de un triángulo esférico se conocen los tres lados, estará de- 

 terminado con tal que se verifiquen las dos primeras propiedades. 



b) Si se conocieran los tres ángtilos, las condiciones de su existencia 

 serían las relativas a las del triángulo esférico suplementario. 



Sean A, B, C, a, h. c los ángulos y lados de un triángulo esférico; 

 los elementos de su suplementario A', B', C, a', 6', c' estarán ligados 

 con los del primero por las relaciones 



ít'=180°— A, // = 1S0° — B, c'=180° — C (x) 



A' = 180'^ — rt, B' = 180°— ¿, C' = 180°— c. (^) 



Para que exista el A'B'C debe verificarse 



a/<fe' + c', rt' + 6' + c'<3G0°, 



o reemplazando o', ¿>', c' por los valores de [y.) 



180° — A<180° — B + 180° — C o A + 180°>B + C {a) 



180° — A -L 180° — B + 180° — C < 360° 



.0 (&) 



A + B + C>180°. 



Como el ángulo A es cualquiera, podemos suponerle el menor, y 

 así la condición (a) dice que : El ángulo menor aumentado en 180° debe 

 ser mayor que la suma de los otros dos. Y la (6) dice que : La suma de 

 los tres ángulos ha de ser mayor que 180'^ o dos ángulos rectos. 



c) Ahora es fácil deducir los límites entre los cuales debe estar com- 

 prendida la suma de los tres ángulos del triángulo esférico oblicuán- 

 gulo o general. 



La («) aplicada a cada uno de los ángulos es : 



A + 180°>B + C, B + 1S0°>A + C, C + 180°>A + B. 



La suma ordenada de las tres desigualdades dará : 



A + B + C + .3 . 180° > 2 [A + B + C] 

 o (a) 



A-f B + C<3.180° 



A ^ B -f C> 2 rectos {b) 



A + B -4- C < O rectos. ' (c) 



