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DISQUISICIONES TlíIGONOMKTlíICAS 101 



Es fácil ver que el número de relaciones de esta especie es seis; 

 son las siguientes : 



cotg a sen 6 == eos & eos C -j- sen C cotg A ( 1 ) 



cotg a sen c = eos c eos B -p sen B eotíj A (2) 



cotg- h sen a =• eos a eos C -f- sen C eot g 1 > (3) 



cotg b sen c = eos e eos A -]- sen A cotg B (4) 



cotg c sen «- = eos a eos B -}- sen B cotg C (5) 



cotg c sen b = eos b eos A -[- sen A cotg C. (G) 



6. Recordando que a todo triángulo esférico le corres[)onde otr<), sn- 

 plementario; es decir, tal que los ángulos de éste son suplementarios 

 de los lados de aquél, y los lados del suplementario, suplemento de 

 los ángulos del ])rimitivo o, en símbolos matemáticos : 



Si A, B, C y íí, &, c designan los ángulosy lados opuestos del trián- 

 gulo dado y A', B', C, a'^ b\ c' los respectivos elementos del triángulo 

 suplementario, la geometría prueba que existen las relaciones 



A'=180°— fl, B' = 18Ü° — Z;, 



a' =180°— A; Z>' = 180° — B, 



A = 180° — «/, B = 1 80 ° — b', 



«=rl80° — A', ¿> = 180°— B', 



Pues bien, aplicando las relaciones del sistema I al triángulo su- 

 plementario, se obtienen para el triángulo primitivo las siguientes 

 ecuaciones : 



eos A = — eos B eos C -|- sen B sen C eos a (1) 



IV , eos B :^ — eos A eos O -f- sen A sen C eos h (2) 



eos C ^ — eos A eos B -j- sen A sen B eos c. (3) 



7. Tales son los cuatro sistemas necesarios y suficientes para resol- 

 ver toda clase de triángulos esféricos; es decir, para determinar tres 

 elementos cualesquiera de ellos, conocidos los otros tres. 



Pero surge de lo últimamente hecho para obtener el sistema IV, la 

 pregunta ¿Se obtendrán otras relaciones nuevas, si aplicamos al trián- 

 gulo suplementario las ecuaciones de los sistemas segundo y tercero, 

 y los resultados obtenidos los referimos al triángulo primitivo? 



Podemos contestarla negativamente. Para el sistema II volvemos 

 a obtener el sistema II, sin más diferencia que lo que era seno de un 



