138 ANALES ÜE I>A SOCIEDAD CIENTÍFICA ARGENTINA 



resulta 



Luego, si tomamos 



DA>DC'. 



y trazamos el arco de círculo máximo BC, éste será igual a BC y por 

 consiguiente resultarán los dos triángulos ABC y ABC que tienen 

 los mismos datos; en el primero el ángulo BCA es agudo por suple- 

 mento del BCD que es obtuso, y en el segundo el ángulo BCA es 

 obtuso. 



2° Supongamos abora que 



AB + BC<180° y BC<AB. 



En este caso (42, 2") el ángulo A será agudo, luego el perpendículo 

 BD también será agudo, y por consiguiente el menor de todos los ar- 

 cos que pueden bajarse desde B al arco AC". Luego, 



y como i)or sui)OSicion es 

 resulta 



Por tanto, si tomamos 



BC>BD, 

 BC < AB, 

 DC < DA. 



DC = DC 



y trazamos el arco de círculo máximo BC, tendremos : 



CB' = BC. 



Luego, los dos triángulos esféricos ABC y ABC convienen a los 

 mismos datos; en el primero el ángulo BCA es obtuso por suplemento 

 del agudo BCD, y en el segundo triángulo el ángulo BCA es agudo. 



50. Cuando en un triángulo esférico se haja el perpendículo , éste caerá 

 dentro del triángulo si los dos ángulos de la base son de la misma es- 

 pecie, y caerá fuera, si dichos ángulos son de contraria especie. 



En efecto, supongamos primero que los dos ángulos de la base BAC 

 y BCA- sean ambos agudos. Siendo agudo el ángulo BCA, su suple- 

 mento BCD es obtuso, luego si el perpendículo BD cayese fuera, a 

 un mismo tiempo, habría de ser agudo y obtuso, lo que es absurdo. 



Del mismo modo se demuestra el teorema en los otros dos casos. 



El recíproco es cierto y se demuestra por reducción al absurdo. 



