196 DE CALCULO EO'T.IPSIUM BESSEUANO COMMENTATIO. 



. . d U d V 



Transformatio expressionis JJ pendet ab inventione dinerentiahum quotarum -j^> j^i' 



quae ipsae iterum a quantitatibus r sin <p', r cos <£>' pendent. Quum -jy 3 et -j-g> duplici modo 



definiri possint, etiani expressionem 33 duplici modo poteris transformare: valor <p enim, 

 qui inest in u et v, aut declinationern aut latitudinem quincti verticis denotat. Utrumque 

 igitur accuratius inquiramus. Primum pro valoribus r sin <p' et r cos q>' expressiones sunt 

 inveniendae, in quibus e 2 et <p continentur. ^Equationes 



/?3 B 2 



w 3 = B 2 — ' x', x = r cos $', y = r sin t'i t g t' = tan t 



adesse constat. Valores x ety si in primam substitueris aequationem, haec existit cequatio: 



B 2 



r 3 sin t' 3 = B 2 j=- r- cos t' 3 > . 



ex qua, si diviseris per cos $' 2 et sin (p' 2 , sequitur 



B* B 2 B- B 2 r- 



'• a tan t' 3 = ——77 3? r » 



cos t' 3 .<2 3 sin t' 3 ^ 2 • tan <j>' 2 



Si deinde in his sequationibus pro tan <p' posueris valorem supra inventum, et recordatus 



jji JJa 



fueris — -jp — = e 2 positum a nobis esse, post haac omnia has invenies expressiones: 



cost - (1 — e-)sint 



r cos t = — . r sin t = 7 ... (7. a.). 



N /l — c J sin $>" \/ 1 — e 3 sin t 3 



Ex utraque expressione per difterentiationem habebis:- 



d . r cos t , s ' n t a 



d.e a = rcos *- 2(1 — e 3 sin t 8 ) 



</ . ?• sin *' . , sin t 3 sin t 



- r sin $ . 



d.e" v ' 2 (1— e'sint 3 ) ,/ 1 — e 3 sin t 3 5 



ex posteriore vero sequatione in (7. a.) sequetur: 



sin $ r sin t' 



y/ 1 — e 3 sin t 2 "" 1 — f 1 



f/ . r cos t' r 3 sin t' 3 



ltaqUe rf.e' - = r C0S * • 2(T-i^' 



d . r sin t' , r 3 sin t' a r sin t' 



d.e 2 = r SI " * -2(l-e 3 )' "T^' 

 _.,.-. r sin t' 



Si brevitatis causa t _ ea = /3 ponitur, ent : 



</ . r cos ij> . , 



= i p» r cos t , 



</. e 3 

 - ' ^ s '" a *' = | /3" r sin $' — /? ; ut in Besselii dissertationc. 



Secundum autem § 4 (4.) est 



m = r cost' sin (/*■ — .#), e = r sin t' cos Z? — r cos t' sin Dcos (p — Jl), 

 ergo 



rf M / d . f COS t' \ ■ / /,x . „. < ■ / a\ 



- — = ( = — ) sin (n — j?) = i (3* r cos t sin (^ — ^), 



