202 DE CALCULO ECLIPSIUM BESSELIANO COMMENTATIO, 



§ 19. Porro, valoribus a, b, c, a', b', c positis, invcnitur 



ah' — a' b = cos S cos D sin (a — A) 

 — r cos <f' sin ft (sin * cos D cos A — sin n! cos 8 cos a) 

 + r cos $' cos fi (sin x cos Z) sin .# — sin x' cos 5 sin a) 

 = cos 8 cos D sin (a — A) — r cos $' G . cos d sin (ft — a) ; 



deinde 



a c' — a' c = cos o sin D sin a — r cos <}>' sin ft (sin h sin Z) — sin *' sin 6) 



— cos D sin 6 sin A + r sin $' (cos D sin «# sin x — cos 8 sin a sin x') 



= cos 8 sin D sin a — cos D sin 8 sin .# — G (r cos <)>' sin d sin ft — r sin f' cos <£ sin a) ; 



ct denique 



b c' ~b' c = cos 8 sin Z) cos a — )• cos $>' cos u (sin 3- sin D — sin x' sin 8) 



— cos Z) sin 8 cos .# + r sin $>' (cos Z) cos ^2 sin a- — cos 8 cos a sin x') 



= cos 8 sin Z? cos a — cos Z) sin 8 cos «# — G (r cos $' sin d cos ft — r sin $>' cos d cos «). 



Est igitur : 



(a 6' — a' b) cos (/+(sc' — a' c) sin d cos a — (6 c' — 6' c) sin d sin « = 



— sin 8 cos Z) sin d sin («/? — a) + cos 8 sin Z) sin d sin (a — a) 



+ cos 8 cos D cos d sin (a — .#) — G . r cos $' sin (ft — a) . . . . (15.) 



atque 



(a c' — a' c) sin a + {b c' — b' c) cos a = cos 8 sin D cos (a — a) 



— sin 8 cos Z> cos (./? — a) + G j r sin $' cos rf — r cos $' sin d cos (ft — a) j . ... (15. a.) 



/Equatio (XV.) vero, per cos 8 cos D sin d multiplicata, efficit 



= sin 8 sin d cos D sin (.# — a) — cos 8 sin d sin fl sin (a — a) 



+ r . cos 8 cos D sin (a — .#). . . .'(15. b.) 



cos d \ j .\ j 



Porro, si (15.) et (15. b.) adduntur, erit: 



(a V — a' b) cos d + (a c' — a' c) sin d cos a — (6 c' — 6' c) sin (/ sin a = 



_ . cos 8 sin (a — A) — G . r cos $' sin (ft — a), 



cos a 



unde sequatio (13. d.) : 



(a b' — a' b)<> + (a c' — a' c) a + (b c' — b' c) a = \ cos D . cos 8 sin (a — A) — G . r cos $>' sin (ft — a) \ ' 



c cos d j 



+ [cos 8 sin Dcos (a — a) — sin 8 cos D cos (A — a) + G \r sin $'cos d — r cos^'sind cos (ft — a) j]*. . (15. c.) 



Jam vero etiam erat secundum expressionem (II.) 



(a b' — a' by +(ac' — a' c)» +(4c'-4'c)' = (a' sin p ± a sin 7?)° 

 4- (b' sin p ± b sin 7?) 3 + (c' sin p ± c sin i?) a , 



igitur etiam 



(a' sin p ± a sin Ji) 3 + (b' sin p ± 6 sin Z?) 2 + (c' sin p ± c sin 7?) a = 



C cos D ~) s 



} r . cos 8 sin (a — A) — G . r cos $' sin (ft — «) £ + 



I cos d ' J 



[sin 8 cos ZJ cos (a — A) — cos ^sin D cos (a — a) — G\r sin <}>'cos d — rcos $' sin (7 cos (ft — 'j)}]'- • . (15. d.) 



Quae quidem expressio brevitatis causa banc accipiat formam 



