WILLIAMS. — FINITE CONTINUOUS GROUPS. 



10' 



Example IV. 



Put p K = 1, k = m = 1, and r =■ 4. We then have the group 



and 

 Therefore, 



e ax q, xe ax q, y q, p ; 

 U = (a 1 e ax + a. 2 xe ax + a 3 3/) ^ + a 4 /> . 



{7a; = a 4 , U' 2 x — 0, . . . Z7"x = 0, 

 x' = x + a i ; 



60 that 



and 



£7y = a x e aZ + a 2 x e ax + a 3 y, 



U' 2 y = aia 3 e ax + a„a 3 xe ax + a-. 1 y -f e aT (a 1 a 4 « + a 2 a 4 ) + xe ax a.,a ilt , 



U*y = «i afe** + a 2 a^ze"* + «3 3 ^ + e ar («x a 4 a a 8 + «2 a 4 a 8 ) + xe<LZ <H a \ " «:; 

 + e ax («! a 4 2 «- + 2 «,, « 4 - a) + x e ax a 2 a 4 2 « 2 , 



U A y = «i a 3 8 e aX + a 2 a/xe ax + «s 4 y + e" (aj a 4 « a 8 2 + a 2 a 4 a 3 2 ) + xe ax a 2 a i a nr 

 + e a3: (a 1 a i 8 u a + 3a 2 a 4 8 « 2 ) + xe a:r a 2 a 4 3 « 3 -f e or (a 1 a 4 2 H 2 a 3 +2a 2 a 4 2 «a 3 ) 

 + xe^a.ia^a-as, 



Hence 



y' = y e" 3 + x e 



ct„ 



( e ««4 _ c « 3 ) 



+ e« 



; « a 4 — w 3 



jr/ 1 ((? 8 -tta 4 ) + rt 2 a 4 j(^3-l)-q 1 (a 3 -aa 4 )(e ag «-l)-a 2 o 4 g an ''(ff 3 -an' 4 + i; 



(as-aciiY 2 

 For the values of r, p K , and k, chosen, this group is continuous. 



