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Seance du lundi 5 Avril 1909. 



Pkkstdknck i)k M. ED. JANCZEWSKI. 



24. O istnieiiiu najzvyzej jednego tylko rozzuiqzania za- 

 gadnienia Dirichleta. — Sur Vunicite de la solution 

 du probleme de Dirichlet. Note de M. 5. ZAREMBA m. c. 



§ 1. Divers auteurs ^) mettent en garde avec raison contre une 

 interpretation trop large du theoreme suivant lequel le probleme de 

 Dirichlet n'admet qu'une seule solution au plus ou, ce qui revient 

 au meme. du theoreme suivant: 



Lorsqu'une fonction ii, harmonique a I'inUrieur d'lm certain do- 

 maine. est nulle sur la frofitiere, elle est nulle dans tout le domaine. 



Toutefois on va trop loin quand on affirme, comme on le fait 

 quelquefois ^). que, pour la validite du theoreme, il est necessaire 

 d'etre assure a Vavance de la continuity de la fonction u, meme en 

 cliacun des points de la frontiere. Sans doute, la demonstration clas- 

 sique ne vaut que dans cette hypotliese, mais le theoreme subsiste 

 dans des conditions plus g^nerales. Cette remarque est contenue 

 implicitement, sans demonstration, dans un travail que j'ai public 

 il y a plus de dix ans *), il y a done quelque interet a faire voir 

 •avec quelle simplicity il est possible de la justifier rigoureusement. 



§ 2. Une transformation par rayons-vecteurs reciproques per- 

 mettant toujours de ramener le cas d'un domaine s'etendant a I'in- 

 fini a celui d'un domaine born^, je n'envisagerai qu'un domaine 

 borne (D). 



Considerons d'abord le cas du plan et supposons, sans chercher 

 a atteindre le maximum de generality, que la fonction ?/, harmo- 

 nique a I'interieur du domaine {D) et par consequent continue en 

 tout point situe a Vinterieur de ce domaine, jouisse surement del a 

 propriete suivante: soit u (P) la valeur de la fonction u en un point 



1) K. d'Adh^mar, Exercices et lemons d' Analyse, pp. 118 et 119 (Paris, 1908, 

 chez Gauthier-Viilars), Correspondance d'Hermite et de Stieltjis, vol. I, pp. 344 

 et H4.5 (Paris, 1905, chez Gauthier-Viilars). 



2) Voir le passage cite plus haut de I'interessant ouvrage de M. d'Adh^mar. 



3) Zaremba, Sur le Probleme de Dirichlet. Annales scientifiques de I'Ecole 

 normale superieure, 1897. 



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