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P. intincur au domaine (D) x>t A un point pris arbitrairement sur 

 la frontiere; on aura en general: 



(1) lim u (P) = , 



la convergence tJtant wnforme pour Tensemble des directions que 

 pourra prendre la droite AP, mais il pourra y avoir incertitude 

 pour uu nombre fini: 



Ai J ^2 5 • • • "^n 



de positions exceptionnelles du point A, ou Ton sera assur6 seule- 

 ment de I'existence des relations suivantes: 



u (P) 



(2) lim ■ -==0. (i = i, 2,...H) 



aTp-o log AiP 



avec la meine condition d'uniformit^ de convergence que pour la 

 relation (1). 



N'ayant que les renseignements pr6e6dents au sujet de la fonc- 

 tion u, il est meme permis de se deraander si la fonction u est 

 born^e a I'int^ricur du domaine (D). Cependant, en reality elle est 

 nulle identiquement a I'int^rieur de tout ce domaine. Pour 6tablir 

 ce point, decrivons des points A-^, A^,... A„ comme centres de pe- 

 tits cercles {2) ayant pour rayons une meme petite longueur q et 

 designons par {Dp) le domaine form^ par ceux des points du do- 

 maine (D) qui sont ext6rieurs aux cercles (2). Cela pos(^, d(^signons 

 par L le maximum de distance de deux points situes dans le do- 

 maine (D) ou sur la frontiere et consid6rons la fonction v (P) d6- 

 finie par la formule suivante: 



(3) v{P) = ey;\og 



^ ^ A^P 



1=1 



ou £ represente un facteur positif. 



On peut (^videmment, sans nuire a la gen^ralite, adraettre que 

 la fonction u est r6elle. Cette condition 6tant remplie, consid6rons 

 les fonctions: 



v{P)~u (P) et V (P) -f u (P). 



Chacune d'elles est une fonction harmonique a I'int^rieur du 

 domaine (i>p) et chacune d'elles tend uniformement vers une limite 



