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soit cuatinue et verifie. bien entendu, en outre la condition bien 

 connue 



(SJ 



h ds = 0, 



dans tous les cas. sauf dans celui ou le domains (D) est a trois di- 

 mensions et s'^tend a I'infini, cas oti la fonction h pourra etre una 

 fonction continue quelconque. 



En effet. on sait que, dans ces conditions, la fonction ic existe, 

 que ses valeurs periph^riques d^finissent une fonction continue sur 

 (S) et que celle des integrales (8) et (9) qui se rapporte au domaine 

 considere est finie; la fonction u pourra done etre representee par la 

 serie (2), ou Ton calcalera les c^ au moyen des forraules donn^es 

 au paragraph e precedent. 



Dans le cas du Probleme de Dirichlet, la simple continuity 

 des valeurs periph^riques de la fonction demand^e ne serait 6vi- 

 demment pas sufTisante pour l^gitimer I'application de la s6rie (2), 

 mais la restriction qui resulte de la n'est pas genante au point de 

 vue du calcul num^rique. En effet: d'abord, th^oriquement, elle ne 

 I'est surement pas, puisque les valeurs peripberiques donn^es de la 

 fonction demand^e pourront toujours etre representees avec un degre 

 d'approximation donne au moyen des valeurs que prendrait sur 

 (*S'), un polynome entier par rapport aux coordonnees; en second lieu, 

 |)Our les applications en Pbysique, la restriction en question n'est 

 pas genante non plus, puisque le plus souvent I'existence de la fonc- 

 tion 00 est evidente a priori ou tres facile a constater. 



II. Le cas du plan. 



§ 4. Nous supposerons d'abord que le domaine (D) est borne et 

 nous ramenerons ensuite a ce cas, au moyen d'une inversion, ce- 

 lui ou le domaine considere s'etendrait a I'infini. 



§ 5. Reprenons le domaine (Dq) et la fonction 0q envisages dans 

 I'introduction. Je dis qu'il existera une fonction 0, continue dans 

 tout le domaine (U) ainsi que sur la frontiere {S) de ce domaine, 

 prenant sur (S) les memes valeurs que la fonction 0q et telle que 

 I'intesrrale 



-to' 



//I 



(y+(k) (^^^^ 





