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6tant continues en tout point interieur au domaine [D). Consi- 

 d6rons en outre une fonction u harmonique a I'int^rieur du domaine 

 [D) et telle que I'int^gTale 



ait une valeur finie. Cela pos6 cliangeons. dans les expressions des 

 fonctions et w, a? en x' et y en y'. puis, envisageons I'expression 

 suivante: 



//I 



(D) 



oil r repr^sente la distance d'un point [x. y) du plan au point (a;', y'). 

 II est Evident que I'expression precedente serait nulle identi- 

 quement pour I'ensemble [D') des positions du point (a;, y) a Fex- 

 t^rieur du domaine (i>), dans le cas ou Ton aurait: 



(mX= (0), + Const, (4j 



en d^signant par {u), et (0), 1©^ valeurs p^riph^riques des fonctions 

 w et en un meme point de la frontiere [S) du domaine (D). 



R6 ciproquem en t, et c'est ce qui constitue le th6oreme fon- 

 damental de la th^orie que nous allons exposer, lorsque I'expression 

 (3) est nulle pour I'ensemble {D') des positions du point {x, y) a 

 I'ext^rieur du domaine (I>), il suffit de savoir que I'int^grale (2) est 

 finie pour etre certain que la fonction u v^rifie la relation (4). 



Pour la demonstration de ce th^oreme, il est n6cessaire d'^tablir 

 diverses autres propositions que nous allons exposer successivement. 



§ 7. Posons: 



f ix, y)=JJ ^^ -^+— -j^-^dx dy , (5) 



f fi 9u 9los;r . 9u 9\ogr\ , , . , ,^. 



(D) 



et consid6rons un point A situe a I'ext^rieur du domaine (D) sur 

 la normale a (S) en un point quelconque il/. Soient /' (A) et ^p [A] 

 les valeurs des fonctions / {x, y) et ^p (a;, y) en A. L'integrale (3) 

 etant nulle par hypothese lorsque le point [x, y) est situ6 a I'exte- 

 rieur du domaine (i)), nous aurons: 



'ip{A)=f{A). _ 



