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, , V* COS A; t^ V P \ 



7i=l 



oo 



u {x', y') = a^ -j- ^ (q;, cos kd' -\- h,, sin kd') q' '' 

 ;c=i 



en designant par q' et d' les coordonnees polaires du point (x', y') 

 et par les a et les 6 des coefficients constants. 



II snffit de porter ces valeurs de log r et de la fouction ii dans 

 I'expression (8) de la fonction ip^^ (A) et de tenir compte de la re- 

 lation (20), pour s'assurer que la relation (19) est bien v^rifi^e. 



§ 10. Nous voici en mesure d'acliever la demonstration du theo- 

 reme fondamental (^nonc6 au § 6. 



II r^sulte des Equations (7), (10), (11), (19) et (20) et de I'uni- 

 formite de la convergence, pour Tensemble des positions du point 

 M sur (S), des quantites xp (A) et xp2 (^) vers leurs limites respec- 

 tives (p (31) et (p^ (31) pour AM^O. que Ton a: 



lira, u (A,) = u (0) + -{ <P2 m -(piM)\, 



la convergence ^tant uni forme pour I'ensemble des positions du 

 point M sur (S). Un raisonnement bien connu permettra de tirer 

 de la la conclusion suivante: la fonction u admet, en chaque point 

 de la frontiere (S) du domaine (D), une valeur peripherique d^ter- 

 min6e et I'ensemble des valeurs peripheriques de la fonction u de- 

 finit une fonction continue (ii), sur [S). Par consequent, lorsque le 

 point (ic, y) se trouve a Fextdrieur du domaine (Z)), I'integrale (o) 

 est ^gale au potentiel de double couche suivant: 



Or, lorsque le point {x. y) est exterieur au domaine (D). I'in- 

 tegrale (3) est nulle identiquement par hypotbese. Par consequent, 

 a I'exterieur du domaine (D), le potentiel (21) est nul; il admet 

 done d'un cote de la frontiere (S) du domaine (Z>), une derivee 

 normale determinee egale a zero; par consequent^), du cote oppose 

 de (8), il admet aussi une derivee normale determinee egale a la 



*) Voir la note de M. Liapounoff dans les C. R., 8 novembre 1897. 



