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pr6ci^dente, done imlle. Cela prouve que le potentiel (21), nul a I'ex- 

 terieur du domaine (D). est constant a I'int^rieur de ce domaine. 

 II derive done d'une double couche de density constante. En d'au- 

 tres termes, la relation (4) est verifi^e. C'est ce que nous voulions 

 6tablir. 



§ 11. Le domaine (Z)) 6tant born6 et d'un seul tenant, la fron- 

 tiere. si elle ne se reduit pas a une seule courbe fermde, se com- 

 posera d'une courbe ferm6e (Sq) et de p autres courbes ferm^es {Si), 

 (S.-,) . . . (S^). int^rieures a la pree^dente. D'ailleurs le passage du cas 

 £ren6ral a celui ou la frontiere du domaine consid6r6 se rMuirait 

 a une courbe ferm6e unique, est iramediat; nous nous bornerons 

 done a I'etude du cas g6n6ral. 



Cela pos^ C0nsid(irons p -{- 1 points fixes: 



(22) 



(,^fc; ^kl 



* = 0, 1, 2, , 



Le point {X(^, y^) pourra etre pris arbitrairement, mais.le choix 

 du point (a^ifc, y^), pour A: ^ 1, sera subordonn^ a la restriction, uni- 

 que d'ailleurs, que ce point soit situ6 a une distance non nuUe 

 de la courbe {S,). a I'intcrieur de la portion de plan limit^e 

 par eelle-ci. 



D6signons par i I'unite imaginaire et posons: 



^ .-: {X: y) = 2 { "^^ + * y^' + (-^ — ^ y)' I 



f,^{x,y) = ^Y^ + iyy—ix—iyyy 



Definissons ensuite les fonctions u^^ o au moyen des formules sui- 

 vantes: 



wq ? 2 (-2 = A (-1 (^ '^o? y ^o) 

 **oi 2(— 1 ^^^ttt \^ '^0- y yo) 



(23) 



«Ko 



u 



\ log { (.T-^0^ + ky-y^^ ) 



tii--i (^ ^*5 y y}i) 



1-, 2 i-\ 



II 



k, 2< 



{{x-x,,Y-\-iy-y,Yy 



_ hi {^—^k , y—y>) 

 {{x-x,Y-{-{y-ykYy 



< = 1, 2, 3... ad inl. 

 A- = 1, 2 3... p. 



