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Je vais etablir le theoreme suivant: pour que Texpression (3) 

 soit nulle identiquement, lorsque le point [x, y) varie, a Text^rieur 

 du domaine (D), il est nt^cessaire et suffisant que Ton ait: 



fc = 0, 1, 2, ...p. 



i = 0, 1, 2, 3... ad inf. 



J'observe, a cet effet, que Tensemble {D') des points du plan 

 ext^rieurs au domaine [D) se compose de p -\-^ regions: 



(i?o). {Ph) . ■ ■ (i^.) 



dont Tune {Eq) s'6tend a I'infini et a la courbe (5o) pour frontiere. 



les autres repr^sentant les portions du plan li mitres respectivement 



par les courbes [S-^), {S^ . . . (Sp). 

 Posons: 



X — Xq = Q cos 6 , x' — Xq = q' cos 6' 

 y — Vq '=■ Q sin 6 . y'~'!/o = q' sin 6' 



et bornons-nous a consid^rer les valeurs de q v^rifiant I'inegalit^: 



en d^signant par Qq une longueur superieure au maximum de dis- 

 tance du point (xq. yo) a un point situe a I'interieur du domaine 

 {D) ou sur la frontiere. Nous pourrons alors porter dans I'expres- 

 sion (3) la valeur suivante de log /•; 



oo 



w-» cos jd cos id' 4- sin jd sin id' ( q'V 

 log r = log Q-2 -^ -^ y-^)- 



Voici alors le r^sultat que nous etablirons avec la plus grande 

 facilite: Pour que I'expression (3) soit nulle a I'ext^rieur du cercle 

 (^o) de centre (a^o, y^ et de rayon ()o, il faut et il suffit que celles 

 des 6galit^s (24) qui correspondent a la valeur z6ro de k soient 

 v6rifi6es. D'ailleurs, puisque I'expression (3) repr^sente une fonction 

 regulierement harmonique des variables x, y dans la region (i?o). 

 elle sera nulle dans toute cette region, si elle est nulle a I'ext^rieur 

 du cercle (^o)- Done, pour que I'expression (3) soit nulle dans (i?,,), 

 il faut et il suffit que la fonction u verifie celles des relations (24) 

 qui correspondent a la valeur zero de I'indice k. On ^tablirait d'uue 

 facon analogue ceci: pour que I'expression (3) soit nulle dans la 



