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region (B^). il faut et il suffit que la fonetion u verifie celles des 

 I'elations (24) qui correspondent a la valeur q de I'indice k. Le th^o- 

 reme que nous voulions tStablir est done demontre. 



§ 12. D'apres un theoreme ^lementaire de la theorie des ensem- 

 bles d^nombrables, nous pourrons mettre I'ensemble des fonctions 

 (23) sous la forme d'une suite infinie: 



(25) u-i, u.,, u^... 



en posant par exemple: 



u 



ri>+i ) j+k 



= u 



*, J 



La suite (25) etant formee, d^finissons une nouvelle suite: 

 (26) Vy, V.,, yg,... 



de fonctions harmoniques dans (/)). en posaut: 



(27) ::^ 



Vk = C,, +^ C,. , V, -f- C,. , M, r* _ 2, 3 . . .> 



(=1 



oil les c I'epr^sentent des constantes qui devront satisfaire aux equa- 

 tions suivantes: 



(28) 



ainsi que: 



CSJ 



v^ ds ^ 



dN 



rfc = 1, 2, 3 . . J 





.,^& = o. 



/» = 2, 3, 4, . . . N 



\t =1,2,3,... k—\) 



On reconnait immediatement que les equations pr^cedentes sont 

 compatibles et que, pour achever de determiner completement les c 

 il suffit de fixer, au moyen d'une regie, quelconque d'ailleurs, les 

 signes des constantes c^,,. dont chacune sera surement diff^rente 

 de z^ro. 



On aura evidemment: 



dvv 



(29) 



sous I'unique condition: 



rsj 



dN 







J^^ 



