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Apres avoir 6tabli quelques lerames, nous d^montrerons le th^o- 

 reme suivant: 



Avec la restriction indiqu^e au§3, toute fo notion 

 /«, continue sur (*S) et dans (/)). harmonique a Tint^rieur 

 de ce domaine, est d^veloppable en une s6rie proc6- 

 dant suivant les fo notions (26) et jouissant de toutes 

 les propri6t6s ^, nonc6es au § 2. 



§ 13. II resulte des Equations (27) et de ce que les constantes 

 Ca, i sont toutes difF6rentes de z^ro. qu'il existe entre les suites (25) 

 et (26) la relation suivante: le terme d'un rang quelconque k de 

 Tune quelconque de ces deux suites est une fonction lin^aire a coef- 

 ficients constants des k premiers termes de I'autre. Par consequent 

 I'ensemble des Equations (24) est (Equivalent a I'ensemble des suivantes: 



r f i 9 (0—u) 9vj, , 9(0—u)9v,\ , , ^ 



Done, les Equations prec6dentes constituent un ensemble de con- 

 ditions necessaires et suffisantes pour que I'expression (3) soit nulle 

 identiquement lorsque le point (ic, //) est situ6 a l'ext(Erieur du do- 

 maine (D). 



La proposition prt^c^dente va nous permettre de d^montrer la 

 suivante: 



Si Ton pose: 



2> ^rzr^ as. (k = 1, 2, 3, . . .) 



dN 



CSJ 



1 



CS) 



(31) 



en designant par S la longueur totale de la frontiere 

 du domaine (Z)), la s^rie: 



oo 



u = Co -j- ^c, v„ (32) 



sera uniforra^ment convergente dans tout domaine 

 interieur (voir la note p. 127) au domaine (D) et la somme 

 u de cette serie sera une fonction harmonique a 1' in- 

 terieur du domaine (D), admettant les memes valeurs 

 p^ripheriques que la fonction 0. 



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