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§ 14. Pour etudier la s6rie (32), nous aurons a nous appuyer 

 sur les deux lemmes suivants: 



Lemme I. Lorsqu'une fonction / (x. y\ admettant des d6riv6es 

 premieres continues a I'iut^rieur du domaine [D) et restaut elle- 

 meme continue meme sur la frontiere {S) de ce domaine, verifie la 

 condition: 



(33) Cfds = i), 



on a: 



(34) Jfp i.d, S L^ff\ ( l^+(^ )= j a. i,, 



en d^signant par h-^ unc longueur dependant uniquement de la na- 

 ture geometrique du domaine (/)) et en supposant evidemment que 

 I'integrale du second niembre ait un sens. 



Lemme 11. Les hypotheses du lemme pr6c6dent (^tant conser- 

 vees, on a encore: 



(35) //=*S/.//j(|)+(|)>.<i., 



(S) (D) ^ 



ou L2 repr6sente une longueur qui, comme la longueur L^, depend 

 uniquement de la nature geometrique du domaine {D). 



Demontrons d'abord le lemme I. 



On sait qu'il existera ') toujours une fonction h parfaitement 

 determin^e a une constante additive pres. harmonique a Tint^rieur 

 du domaine (D), continue, meme sur la frontiere [S) de ce domaine 

 et telle que Ton ait: 



dh 



dN 



a 



en d^signant par a une fonction continue donn^e. definie sur (/S), 

 pourvu que Ton ait: 



j a ds=^i). 



(SJ 



*) On trouvera les r6sultats les plus gent^raux actuellement connus sur cette 

 question dans mon meirioire: Les fonctions fondamentales de M. Poincar^ et 

 la methode de Neumann pour unc frontiere composee de polygenes curvilignes. 

 (Journal de Math^rnatiques pures et appliquees, 1904) 



