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ce qui prouve que la difference constante des valeurs pc^ripheriques 

 des fonctions ii et est iiulle. Le th^oreme ^noiic^ a la fin du 

 § 13 est done d6niontr6. 



§ 18. Dans ce para^raphe. ncju.s nous ^carterons du sujet propre 

 de ce travail pour mettre en evidence une consequence interessante 

 des r^sultats obtenus pr6c6deninient. 



Les integrates (47) 6tant finies, il est perniis de remplacer la 

 fonction F dans I'^galit^ (52) par la fonction m; nous trouverons: 



en vertu de (53). 



Rapprochons cette relation, d^ja interessante en elle-meme. de 

 Tin^galite (41). Nous reconnaitrons que Ton a: 



Cette relation exprime le theoreme suivant: designons par {E) 

 I'ensemble des fonctions, continues dans (D) et sur (>S), dont les 

 valeurs sur (5) coincident avec celles d'une fonction continue d^- 

 termin^e. d^finie sur (^); s'il existe dans I'ensemble (E) des fonc- 

 tions P admettant des deriv^es premieres continues a Tint^rieur du 

 domaine {U)) et telles que I'int^grale: 



reste finie. il existera dans Tensembie /.' une fonction /( (necessai- 

 rement harmonique a I'int^rieur du domaine {I))) telle que. pour 

 P = u, I'integrale precedente atteigne exactement sa borne inf6- 

 rieure. 



Ce theoreme constitue le Principe de Dirichlet. il est done 

 connu depuis longtenips mais, comme I'a justement fait observer 

 M. L e b e s g u e ^), qui parait etre le premier a en avoir donne une 

 demonstration rigoureuse. la demonstration classique nest nulle- 

 ment probante meme si Ton considere la possibilite du Probleme 

 de Dirichlet comme pr^alablement demontr^e. II n'etait done 



') .Sur le Probleme de JJi rich let. Kendiconti del Circolo matematico di Pa- 

 lermo. 1907. 



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