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Par consequent: 



lim /i?„2 



.,=00 y 



lim / i?,.2 ds = 



On conelura imraediatement de cette relation et de la relation 



(57) que Ton a: 



(58) / u a ds =:^ Cq I a ds -\- ^c^ I v^ a ds 



rsj (S) *=i (s) 



en d^signant par n une fonction arbitraire a cela pres que I'int^- 

 grale: 



' G^ ds 



/" 



ait une valeur finie et bien d^terminee. L'6galite (58) exprime pre- 

 cis6ment. par rapport a la s6rie (32), la propri6t6 que nous avions 

 en vue. 



§ 20. II suffit de rapprocher le theoreme enonce a la fin du 

 ^ 13 (p. 141) et demontre an § 17. de ce qui a 6te etabli au § 5 

 (p. 131) pour reconnaitre que. comme nous I'avons 6nonc6 a la fin 

 d u § 12. t o u t e fonction u li a r m o n i q u e a T i n 1 6 r i e u r d u 

 d o m a i n e {D) etdont les valeur s periph6riques satis- 

 font a la condition enoncee au § 3 est d^veloppable 

 de la fa9on indiqu^e au § 2 en une s6rie proc^dant 

 suivant les fonctions (26) d^finies par les equations 

 (27). La s6rie pr6c6dente peut n'etre pas uniform^ment convergente 

 a Tinterieur du domaine (Z>) et, sur la frontiere {S) de ce domaiue? 

 elle pourrait meme etre divergente. mais comme cela resulte des 

 ^galites (50) et (58). elle se comporte. sous certains rapports, 



comme si elle ^tait uni for moment convergente dans 

 {D) et sur iS). En outre, ainsi que cela resulte des egalites (51), 

 les series, deduites de la serie consid6ree au moyen d'une simple 

 derivation par rapport iv Tune des variables x ou y. se rapprochent, 

 au meme titre que la s6rie primitive elle-meme, des series unifor- 

 m('ment convergentes dans le domaine (Z)). 



Enfin. puisque, comme cela resulte de tout ce qui precede, I'in- 

 tegrale: 



(Dj 



