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les nouvelles expressions des fonctions v\ jouiraient 6videniment de 

 routes les propri^tes pr6c6dentcs, les formules (67) subsisteraient 

 evidemraent sans aucun ohang-ement, niais I'equation (68) prendrait 

 la forme plus simple que voici: 



(S) 



puisque Ion aurait alors: 



(69) fv\ds' = * = i'^.3,...J 



(S'J 



Consid6rons maintenant une fonction u des variables (a;, y) con- 

 tinue dans le domaine {D) ct sur la frontiere {S) de ce domaine, 

 harmonique a I'int^rieur du domaine en question, reguliere a I'in- 

 tini au cas ou le domaine (i>) ne serait pas borne, v^rifiant en ou- 

 tre la condition invariante [C) que nous supposerons, pour fixer les 

 idees, se reduire a ce que Tint^graie: 



'™) //!(l)'+(3)>^^ 



do 



ait un sens. 



D6signons par u' la fonction des variables x' et y' obtenue en 

 substituant dans I'expression de la fonction ti les variables x' et //' 

 aux variables x et, y au moyen des (Equations (61). La fonction ii' 

 sera ^videmment continue a I'int^rieur du domaine {B') et sur la 

 frontiere [S') de ce domaine, elle sera harmonique a I'int^rieur de 

 (Z)') et, si ce domaine n'etait pas borne, reguliere a I'infini; enfin, 

 a cause de I'invariance des int^grales (59) par rapport aux grou- 

 pes des transformations conformes, I'int^grale (64) aura une valeur 

 finie (^gale a ceile de I'int^grale (70'. Par consequent la fonction u' 

 pourra etre representee par la s^rie (66). Revenons aux variables 

 (a;, y). Les fonctions v\ se transformeront en des fonctions v^ des 

 variables x et y. Les fonctions v^ seront ^videmment continues dans 

 (U) et sur {S). elles seront harmoniques a I'interieur du domaine 

 {D) et, si ce domaine n'etait pas borne. r6gulieres a rinfini; de plus 



ies quantites ^ existeront et varieront continuement avec la po- 

 sition du pied de la normale correspondante. En outre, a cause de 



