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par^ment le cas oii le domaine (1>) serait born6 et celui ou il ne 

 le serait pas. 



§ 27. Pour faciliter Tintelligence de ce qui va suivre, nous r6u- 

 nirons dans ce paragraphe quelques tht^oremes empruntes a la theo- 

 ries des polynomes sph6riques. 



D6signons par /7„ {x, y, z) un polynome sph6rique de degr6 n 

 et consid^rons une sphere (H) de rayon R ayant I'origine des co- 

 ordonn^es pour centre. Proposons-nous d'^valuer I'int^grale suivante: 



(a) 



oil i'on d^signe par r la distance des points (ic, y, z) et {x' y' z'). par 

 (■Q) le domaine interieur a la sphere {S) et par HJ I'expression 

 n„{x'y'z'). 



Nous avons a Tint^rieur de {2): 



4g)„-f 4yr/7„ = _ (7) 



en d6signant par J Top^rateur de Laplace. A I'ext^rieur de (^)' 

 on a 6videmment: 



et de plus la fonction (p„ et ses deriv^es premieres, continues a la 

 travers^e de (^'), sont nulles a I'infini. II est naturel de chercher a 

 repr^senter la fonction g?„ au moyen des formules suivantes: 



(p,^ = {AQ^^B)n„, a I'int^rieur de {S\ 

 cp^^ = C~^^, a I'ext^rieur de (^), 



Q 



en d^signant par A, B et C des constantes et en posant: 



Q =^yx^ ~h^^ "f" ^^''~ 



ou Ton doit prendre la determination positive du radical. On re- 

 connait imm^diatement que la chose est possible et Ton trouve ai- 

 s6ment: 



f' = (2«+l)(2»+3) l^J "- P°"'' ^ = * ■ 



