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sphere (2). appliquons la formule (17) au d^veloppement de - 



r 



f!onsid6r«^e comme fonction des variables x', y\ z\ en supposant que 

 Ton ait: 



q^U et ^'<Ci?. 



En se reportant aux relations (18). (6) et (8), on trouvera sans 

 peine: 



2ii+/ 2n+2 



i- y„ ^"^' f^) y n n (2i^ 



r ~^(2)! + 3)(2« + l) Vp/ ^ ".,."... l^J/ 



n = 7:=/ 



ou /7'„. ft represente. comme plus liaut, le resultat du changement de 

 a;, «/, 2: en x' . ij\ z' dans /7„, t. 



Supposons que les points (a?, y. 0) et (a?', y' . z') soient situes sur 

 une meme demi-droite issue du centre de la sphere (^). On aura 

 alors: 



r ^ Q — Q et 



->'« 



/7V. Q' 

 Ces remarques faites, I'^quation (21) nous donnera: 



6galit6 qui subsistera ^videmment pour toutes les valeurs de q. 



§ 28. Pour preparer les voies a la demonstration du thdoreme 

 6nonc6 au § 26. nous aliens d6velopper des considerations analo- 

 gues a celles des §§ 7, 8 et 9. Actuellement elles seront insuffi- 

 santes pour demontrer que la fonction harmonique u admet des va- 

 leurs peripheriques determin^es, mais elles nous permettront de faire 

 un premier pas dans ce sens en nous conduisant au resultat suivant: 



Lorsque, pour toute position du point {x. y, z) a I'interieur du 

 domaine [D') form^ par Tensemble des points ext^rieurs au domaine 

 (Z>), I'inte.grale (4) est nulle, la valeur u (A) de la fonction u en 

 tout point yl, int6rieur au domaine [D) et tel que sa plus courte 

 distance a a la frontiere satisfasse a la condition: 



oil R represente une longueur dependant uniquement de la nature 

 du domaine [D)^ v^rifie Tinegalite: 



