177 



dente subsiste. on pourra ^videmment trouver une longueur rj^ in- 

 d^pendante de la position du point M sur (S), et telle que, sous 

 la condition: 



0<:q — B^7] (47) 



le second terme F^ (q) de (39) v6rifie I'inegalit^: 



\FAq)\<:s. (48) 



Les relations (38), (46) et (48) donnent: 



|^,(^)-^,(^)i<^l+\/§)^- (49) 



Done, ind6pendamment de la position du point M sur (S) les 

 in^galit^s (47) entrainent I'inegalit^ (49). Cela prouve que I'expres- 

 sion (37) tend bien, comme I'expression (35), uniform^ment vers 

 z4ro avec q — B lorsque le point M varie d'une fagon quelconque 

 sur (S). Par consequent, a cause de I'^quation (29), il en est de 

 merae de la diflf^rence: 



Or, en vertu d'une remarque, faite dans la premiere partie du 

 § 28, lorsque la distance du point ^ a la surface (S) tend vers 

 z6ro, la fonction ip (A) tend uniformement vers une fonction con- 

 tinue ddfinie sur {S). Par consequent, il en est de meme de la fonc- 

 tion ip (A-j). 



II r6sulte de tout cela que, comme nous I'avions annonc^ au 

 debut du paragraphe actuel, la fonction tfj (x. y, z), definie par 1'^- 

 quation (24), harmonique a Tinterieur et a I'exterieur du domaine 

 (D); est continue a la travers^e de la frontiere de ce domaine. 



§ 30. Nous voici en mesure d'achever la demonstration du theo- 

 reme enonce au § 26. 



Considerons de nouveau un point quelconque 31 situe sur (S), 

 prenons ce point pour origine des coordonnees et dirigeons I'axe 

 des z suivant la normale en M a (S) vers I'interieur du domaine 

 (D). Du point Jf comme centre, decrivons une sphere (ef) de rayon 

 z et soit (Sq) la portion de {S) formee par I'ensemble de ceux des 

 points de cette surface qui sont situes a I'interieur ou sur la sur- 

 face de la sphere (ef). D'apres les hypotheses adoptees au sujet du 

 domaine (D), il sera possible d'attribuer a la longueur t- une va- 

 leur, independante de la position du point M sur (S), telle que la 



