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il en est de meme du potentiel de double couche que repr^sente 

 Texpression (60). 



Par consequent ee potentiel de double couche admet une d6- 

 riv6e normale extdrieure et cette d6riv6e est nulle. 



II en sera done de meme i) de la deriv^e normale int6rieure. 

 Done le potentiel (60), nul par hypothese a Text^rieur du domaine 

 (D), sera constant a Tint^rieur de ce domaine. Cela prouve que la 

 relation (5) sera siirement v^rifiee. Done, pour d6montrer comple- 

 tement le th^oreme fondamental du § 26, il ne reste qu'a faire 

 voir que la difference constante des valeurs p^ripheriques des fonc- 

 tions et M se r6duit a z6ro lorsque le domaine (Z>) n'est pas born6. 

 Or cela est presque Evident: en effet, un potentiel d^rivant de mas- 

 ses situ6es dans le fini tend uniform^ment vers zero a I'infini, il 

 ne peut done rester constant dans un domaine non born^ sans y 

 etre nul, done, lorsque le domaine (D) s'etend a I'infini, le poten- 

 tiel (60). nul par hypothese a Texterieur du domaine (D) est aussi 

 nul a rint6rieur de ce domaine. Par consequent la difference — u 

 s'aunule sur (S). C'est ce que nous avions encore a d^montrer. 



§ 31. En s'appuyant sur la formule (21) (p. 169) on d^veloppera 

 avec la plus grande facilite, pour I'espace, des considerations ana- 

 logues a celles du § 11, et cela aussi aisement dans le cas ou le 

 domaine (D) s'etendrait a I'infini que dans celui ou le domaine con- 

 sidere serait borne. 



§ 32. L'extension a un domaine borne a trois dimensions de 

 la theorie exposee dans les §§ de 11 a 20 est immediate. Done, en 

 ce qui concerne le cas oil le domaine (D) est borne, il nous suf- 

 fira d'enoncer les resultats definitifs. Dans ce cas, I'ensemble des 

 points exterieurs au domaine (D) se compose d'une region non bor- 

 nee {Kq), form6e par les points exterieurs a une surface formee 

 (Sq) et de p regions: 



(B,), (i?,). . . . {R,) (61) 



respectivement intdrieures a des surfaces fermees: 



On choisira dans I'espace p -\- 1 points fixes: 



1) Voir la note de M. Liapounoff dans les C. R., 8 novembre 1897. 



