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Anders ki'mnen diese Relationen durch direkte Berechnung bezug- 

 licher GroDen auch auf Grund der Formeln (8) erhalten werden. 

 Man kann ferner die in erster Zeile von (11) befindlichen Bezie- 

 hungen durch Beziehungen ersetzen, vermoge welcher die geodilti- 

 sehen Krlimmungen y.^ und g.i transformiert werden. Es finden 

 nKmlich die Relationen: 



(12) g'.,=zxg.,—^smQ.^.,, /.-, = Tfjr.^ — ^ sin i2^, .^ 



statt. Aus den Formeln (11) oder (12) folgt unter anderem der Satz, 

 daC eine Schar von geodatischen Kurven bei der konformen Abbildung 

 dann und nur dann nicht aufhort, aus geodutischen Kurven zu be- 

 steben, wenn die Kurven dieser Schar gleichzeitig auch orthogonale 

 Trajektorien der Kurven t = const, sind. Dieser Satz kann als spe- 

 zieller Fall eines anderen Satzes betrachtet werden, Es folgt namlich 

 aus den Relationen, die in erster Zeile von (11) stehen, da(5 wenn 

 auf der Flache S die Beziehung g.^^ ,!, = besteht, auf der Fla- 

 che S' dann und nur dann die Beziehung g' ^^ ,r = stattfindet, 

 wenn die Kurven t/; = const, orthogonale Trajektorien der Kurven 

 T=. const, sind. 



3. Um nun weiter zu gehen, werden wir eine allgemeine For- 

 mel aufstellen. Man betrachte namlich eine Funktion o" (m^, 7/2)- Auf 

 dieselbe kunnen alle Bezeichnungen und Betrachtungen angewendet 

 werden, welche frtiher in bezug auf -tp und cp angefuhrt waren. Es 

 ist dabei leicht zu sehen, daC die Formeln: 



df df „ .df 



, = r cos ii- ^ -\- -, — 



as- ds. ■' dn- 



(13) "^=^cosi2„, + -^sini3_. 



dQ. ,1 

 (14) g.i, a = "ai^ + ^ • ^^'^ "^ •' ^ + ^ • ^^° '^^' ^ ' 



bestehen. Wenn man nun die zweite Formel der ersten Zeile von 

 (11) nach s^ differenziert, so ergibt sich zunachst: 



^^'?,i / dg-^.'^ , dx , dH ^ 



dx dQ.^.i . \ 



, r- ' Sin ii. ,1, . 



dn. dSr; ■' •/ 



Aber durch die Anwendung der Formel (13) erhalt man: 



