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de donde 



Am^ = AB^ — AB . Am = AB {AB — Am) = AB.mB 

 Am'^ = AB^ + AB . Am' = AB {AB = Am'} = AB . 7?2'B; 



luego los segmentos Am, Am' son, respectivamente, los seg- 

 mentos áureos aditivo y sustfactivo del AB. 



Trazando por los puntos m, m' de R [o) las tangentes mm^ 

 y ?n'77i\, de la igualdad de los triángulos omm^ oBm^ y o?>^'m^', 

 om^^ B se deduce que las rectas om^ y om¿ son las bisectri- 

 ces del \BOA, y, por consiguiente, que el triángulo mom-¿ 

 es rectángulo en 0. 



De la semejanza de los triángulos Am' m-^', m^mA y oBA, 

 resulta 



Am, = 2mm^^2Bm^ .. Am' = 2Bm'', 



luego los segmentos m^B Bm^' son los segmentos áureos 

 aditivo y sustractivo del segmento oB = — AB. 



Si en los puntos m^ m^' levantamos las _l_ á las rectas om^^ 

 om^', prolongándolas hasta su encuentro con la recta oB en los 

 puntos n^ n^', tendremos 



Bm^^ = oB.Bn^ y Bm^^ = oB .Bn^', 



luego los segmentos Bn^, Bn^ son los segmentos menores del 

 segmento oB al dividirlo en media y extrema razón. 



De lo dicho resulta que, para dividir un segmento dado oB 

 en media y extrema raxóyi: Describiremos una circunferencia 

 con un radio igual al segmento dado; tomaremos en la tan- 

 gente trazada á la circunferencia por un punto B a?'bitrario 

 el segmento BA igual al diámetro y las normales del punto A; 

 por los extremos de estas normales trazaremos dos tangentes 

 á la circunferencia, las que al cortar la tangente AB en los 

 putitos m^ m^ determinan dos segmentos, Bm^ Bm^, que son 

 los segmentos áureos del segmento dado oB. 



