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Para hallar los segmentos menores correspondientes traxa^ 

 remos en los puntos m^ m-^ las perpendiculares á las rectas 

 om^ om-¿y las que al cortar al radio oB prolongado en los 

 puntos n^ n^ determinan los segmentos Bn^ Bn^ jjedidos. 



Sel. También pueden hallarse los puntos mi m^ trazando 

 las bisectrices del ángulo A [o) B. 



De la semejanza de los triángulos m^ om^, om^ n^ y om^ w,, 

 se deduce: 



1.° El segmento dado es media propo?'CÍonal entre sus dos 

 segmentos áureos. 



2.° El segmento dado es igual al segmento áureo aditivo 

 de su segmento áureo susti'activo dividido en media y extre- 

 ma razón. 



3.*^ El segmento dado y su segmento áureo aditivo son 

 dos medias proporcionales entre el segmento áureo sustractivo 

 y el segmento menor aditivo del dado. 



4,° El segmento menor aditivo de un segmento dado es 

 igual al segmento áureo aditivo del segmento áureo aditivo del 

 segmento dado. 



Trazando por el punto n^' la recta n^ m^ J_ m^ n^ hasta 

 que corte la tangente AB prolongada en m^ , de la semejanza 

 de los triángulos m^ n^ m^ y om^ m^ deducimos: 



5.° El segmento áureo sustractivo del segmento dado es 

 igual al segmento áureo aditivo del segmento menor sustrac- 

 tivo del segmento dado, dividido en media y extrema razón. 



Teorema. Un segmento es inconmensurable con sus seg~ 

 fnentos áureos. 



En efecto: hallando los segmentos áureos del segmento dado, 

 y de cada uno de los que resultan, vemos que el punto B 

 extremo del segmento dado oB es punto asintótico de los 

 m^ n^ .. m^ n^ .. m^ Wg... que sucesivamente se encuentran, y 

 por lo tanto no existe común medida del segmento dado y su 

 segmento áureo aditivo, y por consiguiente son incomensurables; 



1 • 1 ^ *• í m.B\ ( oB \ 

 lo mismo ocurre con el sustractivo, pues ( — - — |= 1. 



\ oB I \BmJ 

 Problema, a). Trazando el haz o {M'BM), reproducción 

 del o {m^Bm^) de la figura 2, podemos dividir un segmento 



