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mos tiempo para ello, y por lo demás, la demostración, que 

 es sencillísima, pueden verla mis alumnos en la obra de 

 Mr. Poíncaré sobre la potencial newtoniana. 



Los polinomios P se conocen con el nombre de polino- 

 mios de Legendre. 



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Los polinomios de Legendre, se deducen de la fórmula que 

 hemos obtenido 



que son polinomios enteros en eos y, y en que el grado de 

 cada polinomio es igual al subíndice; es decir, que el grado 

 de Pn es precisamente n. 



En efecto, repitiendo el cálculo que antes hacíamos para 

 demostrar que, aunque aparentemente, la forma de estos po- 

 linomios es imaginaria, son polinomios reales; tendremos: 



P„ = 2 ^p^q {e-'(P-<i^ V-i _^ e--'^P-'i' V'~) = S a^a^ . 2 eos y {p — q) 



en que la combinación p, q sólo se toma una vez. Si se to- 

 masen las dos combinaciones p, q y q, p había que volver á 

 la fórmula primitiva. 



Vemos, de todas maneras, que P„ es un polinomio en que 

 cada término se compone de un coeficiente numérico 2y.p a 

 y del coseno de un arco múltiple de y, á saber eos {p — q) y. 



Pero se sabe por trigonometría que los cosenos de los 

 aicos múltiples están representados por polinomios cuyos 

 términos son potencias del arco sencillo de modo que 

 eos {p — q)y se expresará por potencias de eos y. 



Por si mis alumnos han olvidado esta demostración, bue- 

 no será indicarla de paso. 



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