- 230 - 



Precisamente la fórmula que antes recordábamos como 

 expresando la relación entre exponenciales y líneas trigono- 

 métricas, es la que puede resolver el problema. 



Hemos demostrado, ó mejor dicho, hemos definido la ex- 

 presión 



^ '^ ^ - ^ = eos a + sen a\' — 1 . 

 Elevemos á la potencia m ambos términos, y tendremos 



gmaV'-i =(cos a -{-sen a V — l)'". 



El primer miembro puede transformarse en cosenos mól- 

 tiples por la misma fórmula 



• m 



a\ -\ = (eos /7z a + sen /7Z a V — 1 ) 



y el segundo miembro puede desarrollarse por el binomio 

 de Nev^ton, y tendremos, por lo tanto 



eos ma + sen ma y — 1 = 

 = eos'" a - m cos'""^ a sen a\J — \ ^^ eos '""^ a sen- a — 



— ^ eos "^ •" a sen^ a 



1 • 2- 3 



1 • 2 



V'— + 



. m{m — \){m — 2){m — 3) ^ , , 



-\ ^^ — — eos'" - '^ a sen '* a + 



1 • 2- s- 4 



ecuación de la cual se deducen otras dos, igualando las par- 

 tes reales y las partes imaginarias de ambos miembros. 



No consideremos más que las partes reales, porque son 

 las únicas que nos interesan, y tendremos el valor del co- 

 seno del arco múltiplo en función del seno y del coseno del 

 arco sencillo. 



