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VI. — Estudio geométrico de la curvatura 

 de las superficies alabeadas en general. 



Por Antonio Torroja y Miret. 



ADVERTENCIA PRELIMINAR 



La importancia del papel que en la Geometría desempe- 

 ñan las superficies alabeadas, ha hecho que se las dedicara 

 atención muy particular y que las principales de entre ellas 

 hayan sido estudiadas, ya individualmente, ya agrupadas 

 las que á una misma familia pertenecen. Pero estos estudios 

 tienen siempre carácter particular como resultado de aplicar 

 los principios generales de las diferentes teorías con el crite- 

 rio exclusivo de resolver una cuestión concreta. Y de aquí, 

 que al emprender el estudio de una nueva superficie alabea- 

 da haya que justificar de nuevo muchos de los principios 

 que se habían ya demostrado al estudiar otras, por ser co- 

 munes á todas ellas. 



Los trabajos, por nosotros conocidos, que estudian de un 

 modo general las propiedades comunes á todas las superfi- 

 cies alabeadas son muy escasos, sobre todo en lo que á su 

 curvatura se refiere, y casi todos ellos emplean el Análisis 

 aun tratándose de estudiar cuestiones de Geometría. 



El objeto del presente trabajo es establecer, por procedi- 

 mientos exclusivamente geométricos, la teoría general de la 

 curvatura de las superficies alabeadas, que luego podrá ser 

 aplicada á las superficies particulares sin más que introdu- 

 cir en ella las hipótesis que la definición de cada superficie 

 establezca. En todo el trabajo hemos procurado emplear, 

 siempre que ha sido posible, razonamientos de carácter pro- 

 yectivo, para poder estudiar simultáneamente las cuestiones 

 referentes á puntos y líneas de la superficie y sus correlati- 

 vas de planos tangentes y desarrollables circunscritas á la 



