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Y ahora, una de dos: ó el subíndice n es par, ó es impar. 



Si n es par, todos los coeficientes de todos los términos 

 en S serán potencias pares de eos. y. 



Si n es impar, es evidente que serán impares todos los nú- 

 meros de la serie anterior; luego todos los términos de Pn 

 serán impares también. 



De aquí se deduce esta consecuencia: los coeficientes P„ 

 de Legendre son alternativamente pares é impares: para to- 

 dos los valores pares de n, Pn serán polinomios de poten- 

 cias pares de eos y; para todos los subíndices n que sean 

 impares todas las potencias de eos y en P„ serán impares 

 también. 



Esta p ropiedad la demuestra Mr. Poincaré por maner 

 sencillísima. 



Hemos obtenido el siguiente desarrollo: 



= /'o + ^iPi + P,h' + + ^.Pi" + 



V/l-2p,cosy + rV 



que es, en el fondo, una identidad: por lo tanto, para todos 

 los valores de y y p ^ el segundo miembro resulta igual al 

 primero en valor numérico. 



Pues sustituyamos los siguientes valores particulares. 

 Cambiemos y por - — y y f i por — o^. 



Estos cambios ó sustituciones debemos hacerlos en los 

 dos miembros, con lo cual la identidad subsistirá. 



El primer miembro se convierte en 



1 1 



V^l + 2 ?i eos (- - v) o, + z^^ \J\-2 o, eos y + o,' 



es decir, que el primer miembro no cambia. Luego el des- 

 arrollo del segundo miembro no debe cambiar, ó sea, que 

 cada término debe quedar invariable, porque como todos 

 los términos tienen distintas potencias de pi, no pueden 

 cambiarse unos en otros. 



