• 234 - 



Consideremos el término general 



Si n es par, la potencia da o^ no cambiará porque se sus- 

 íuya á pi el valor — o^; luego P^ no debe cambiar tampoco 

 para que todo el término permanezca invariable. 



Ahora bien; P„ es un polinomio que contiene diversas 

 potencias de eos y. Pero sustituyendo en vez de y el valor 



- — -/, una cualquiera de estas potencias feos y)^ se con- 

 vertirá en 



[eos (- — y)]"? = (— eos y)^. 



Luego para que no varíe será preciso que todos los ex- 

 ponentes q sean pares, que es lo que nos proponíamos de- 

 mostrar y queda demostrado el teorema para este caso. 



Si n es impar o^" se convertirá, por el cambio de o^ por 



— =1, en — pi"; luego para que el término no varíe será pre- 

 ciso que todos los términos del polinomio tengan el signo — ; 

 y como hemos visto que eos y se convierte en — eos y, to- 

 das las potencias deberán ser negativas y los exponentes q 

 deberán ser impares, como n. 



* * 



Otra propiedad casi evidente de los polinomios Pn- 



eos y es el coseno del ángulo que forman las rectas 



OP, Ó M. 

 Como las coordeeadas del punco P las hemos designado 



por y', x', z' y la distancia OP por o', los cosenos de los 



ángulos que forma esta recta O P con los ejes coordenados 



serán: 



f * ' 



X y_ z_ 



T ' T ' 7 ' 

 o o c 



