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cié S á lo largo de la línea /' 

 y en el cual tienen la superfi- 

 cie S y la línea /' un contac- 

 to de segundo orden, es el 

 que pasa por el punto de in- 

 tersección de una recta cual- 

 quiera m con el plano u^, 

 tangente á lo largo de la ge- 

 neratriz distinta de la y. si 

 tuada en el plano v del cono 

 li, correspondiente á esta 

 recta m y un par de planos 

 arbitrarios que pasan por 

 ella. De aquí se deduce que 

 los cuatro planos v, w, J y u 



forman una figura armónica, puesto que, en el caso de la 

 izquierda, por ejemplo, si unimos el punto V con el A'' co- 

 mún á la recta m y la cónica H, y proyectamos sobre esta 

 cónica desde el punto W los cuatro puntos en que la recta 

 V N corta á las a y WUi y á la cónica H, tendremos cuatro 

 puntos que forman una figura armónica y cuya proyección 

 desde N sobre a son los puntos V, W,J y U. 



la I, y en el cual tienen un 

 contacto de segundo orden, 

 es el de intersección de la 

 generatriz rectilínea ::'. con el 

 plano que pasa por una recta 

 cualquiera m y por el punto 

 de contacto U^ de la tangen- 

 te distinta de la a trazada por 

 el punto y á la cónica H co- 

 rrespondiente á esta recta m 

 y un par de puntos arbitra- 

 rios de la misma. De aquí 

 se deduce que los cuatro 

 puntos V, W, Jy U 



La posición del punto bus- 

 cado L^ queda, pues, perfec- 

 tamicnte determinada, así 

 como la curvatura de la su- 

 perficie /, puesto que es la 

 misma, en ese punto, que la 

 de la superficie S. 



La tangente á la l'nea L 

 en el punto U, que es para- 

 bólico, no puede deducirse 

 de los elementos de segundo 

 orden de la superficie en la 

 arista a; pasando por el pun- 

 to V las aristas de retroceso 

 de las desarrollables circuns- 



La posición del plano bus- 

 cado u queda, pues, perfec- 

 tamente determinada, así 

 como la curvatura de la lí- 

 nea /' puesto que es la mis- 

 ma en ese plano que la de la 

 superficie S. 



La generatriz rectilínea de 

 la superficie L' situada en el 

 plano II, que es parabólico, 

 no puede deducirse de los 

 elementos de segundo orden 

 de la superficie en la arista a; 

 siendo tangentes al plano v 

 las envolventes de los haces 



